О возможности такого перевода и извлечения алгоритма из математических трудов Паскаля свидетельствует и признание Лейбница, которое относится к «Трактату о синусах четверти круга» Блеза, связанному с исследованием циклоиды. В 1673 году по совету Гюйгенса немецкий философ познакомился с этим трактатом и, как он сам замечает, был внезапно озарен новым светом. Особое внимание Лейбница привлек чертеж с бесконечно малым треугольником, используемым Блезом для преобразования интегральных сумм. Лейбниц назвал этот треугольник характеристическим, увидев в нем один из основных элементов дифференциального исчисления, и с его помощью подошел к формулировке самих принципов этого исчисления.

Пусть нам дана, пишет Паскаль в лемме «Трактата...», четверть круга ABC (см. рис. 5),

где радиус AB рассматривается как ось, а радиус АС — как основание. Возьмем на дуге окружности произвольную точку Д, из которой на основание проводится линия синуса ДI и радиус АД и через которую проходит также касательная ЕЕ'. Из точек E и E' на основание АС опускаются перпендикуляры ER и E'R'. Затем Паскаль строит треугольник ЕКЕ' (данный треугольник Лейбниц и назвал характеристическим), который подобен треугольнику ДIА. Это подобие дает ему пропорцию:

AD/DI= EE1/ЕК,

в которой отношение бесконечно малых величин (EE1/EK) выражено отношением конечных величин AD/DI, и равенство:

ДIxЕЕ' = АДxЕК, илиДIxЕЕ' = АДxRR'.

Если же разделить какую-либо дугу четверти круга на малые части и заменить отрезки касательных эквивалентными им при переходе к пределу малыми дугами, то при интегрировании обеих частей этого равенства получается теорема, которая в «Трактате...» Паскаля звучит так: «Сумма синусов какой-либо дуги четверти круга равна отрезку основания между крайними синусами, умноженному на радиус».

«Лейбниц, — пишет советский историк математики И. Б. Погребысский, рассматривая характеристический треугольник Паскаля, — сразу заметил, что это построение и связанный с ним переход от отношения бесконечно малых величин к отношению величин конечных справедливы для любой кривой. Надо только рассматривать АД не как радиус, а как отрезок нормали к кривой, проведенный до пересечения с основанием (осью абсцисс). Это было важным шагом на пути к созданию дифференциального исчисления: характеристический треугольник при переходе к пределу, когда его катеты (^ х и ^ у) становятся бесконечно малыми (dx и dy), остается все время подобным конечному треугольнику, что позволяет уверенно действовать с отношением dy/dx. И Лейбница удивляло, как это Паскаль не заметил общности своего построения, „словно у него на глазах была повязка“.

О естественности перевода результатов Паскаля при решении задач в связи с циклоидой на терминологию специальных понятий и абстрактной символики интегрального исчисления, а также о четкости его мышления и ясности языка можно судить и по высказыванию известных французских математиков, выступивших под псевдонимом Н. Бурбаки: «Валлис в 1655 году и Паскаль в 1658 году составили каждый для своего употребления языки алгебраического характера, в которых, не записывая ни единой формулы, они дают формулировки, которые можно немедленно, как только будет понят их механизм, записать в формулах интегрального исчисления. Язык Паскаля особенно ясен и точен; и если не всегда понятно, почему он отказался от применения алгебраических обозначений не только Декарта, но и Виета, все же нельзя не восхищаться его мастерством, которое могло проявиться лишь на основе совершенного владения языком».

Научные открытия, сделанные Паскалем весенней ночью, — последний всплеск его математической фантазии, а радость победы вскоре омрачается горечью угрызения совести. Блез искренне мучается оттого, что неистребимое libido sciendi, a вместе с ним и опьяняющее libido dominandi вновь проснулись в его душе. Действительно, в конкурсе с циклоидой горделивое тщеславие и нетерпимость к слабостям соперников опять выявляются в его поведении, как уже случалось в годы молодости. Конкурс был организован с намерением показать, что ни один европейский математик не способен соревноваться с Паскалем, и потому Блез так неумолим в отношении краткости его сроков, резко и нетерпеливо реагирует на всякие возражения, подчеркивает достоинство своих трудов и свысока относится к попыткам конкурентов.

Задумываясь над всем этим, он теперь начинает догадываться, что путь к нравственному совершенству не имеет остановок, где можно передохнуть или даже слегка развлечься, что каждый шаг на этом пути в чем-то сложнее предыдущего и что необходимы постоянные новые усилия, чтобы продолжить начатое.

Такому устремлению способствует и новый кризис в состоянии здоровья Паскаля, начавшийся зимой 1659 года. По словам Каркави, Блез находится в изнеможении всех своих сил и любое занятие, требующее хоть малейшего внимания, причиняет ему невероятную боль. Лечение бульонами и молоком ослицы, которое прописали врачи, не помогает, и больной даже не может прочитать присланную ему Слюзом научную брошюру. Когда родные и близкие принимаются жалеть его, Паскаль отвечает, что жалобы тут ни к чему, что он рад своим страданиям и боится вылечиться, что хорошо знает опасность здоровья и «преимущества» болезни: «с ее помощью мы пребываем в таком положении, в каком должны бы находиться всегда — в страдании, горестях, в лишении всех благ и чувственных удовольствий, без всяких страстей и честолюбия, без скупости и в постоянном ожидании смерти».

Жильберта вспоминала, что брат так стойко переносил любые недомогания, как мало кто был способен это делать. Это отношение к собственным страданиям, угрызения совести, новый подъем религиозной ревностности в душе Паскаля необыкновенно ярко проявляются в его покаянном «Молитвенном размышлении об обращении во благо болезней», чрезвычайно важном для понимания последних лет жизни Блеза.

Вот некоторые фрагменты из него:

«Господи... ты даровал мне здоровье на служение Тебе, а я истратил его для суетных целей. Теперь Ты посылаешь мне болезнь, чтобы исправить меня: не допусти же меня прогневать Тебя моим нетерпением. Я злоупотребил своим здоровьем, и Ты справедливо покарал меня. Помоги мне извлечь должную пользу из Твоего наказания... Если сердце мое было полно привязанности к миру, пока в нем была некоторая сила, — уничтожь эту силу для моего спасения и сделай меня неспособным наслаждаться миром: ослабив ли мое тело или возбудив во мне пыл любви к ближним, чтобы наслаждаться мне одним Тобою... Отверзи сердце мое, Господи, войди в это мятежное место, занятое пороками. Они держат его в своей власти. Войди в него, как в жилище укрепившегося; но свяжи сначала крепкого и сильного врага, который им владеет, и тогда возьми лежащие в нем сокровища... Да пожелаю отныне здоровья и жизни только для того, чтобы пользоваться ими и окончить ее для Тебя, с Тобою и в Тебе».