Хотя в конце 1654 года Блез решительно отстранился от научного творчества, старые увлечения через несколько лет стали вновь давать о себе знать. Уже в мае 1657 года, то есть сразу после окончания изнурительной полемики Блеза с иезуитами, один из французских математиков писал Гюйгенсу, что, хотя господин Паскаль всецело предается в своем уединении благочестивым занятиям, он не потерял тем не менее из виду математику. Действительно, Блез изредка беседует с Каркави, с которым, как мы помним, он сблизился еще во времена посещения кружка Мерсенна, об азартных играх и теории вероятностей, встречается с Робервалем. Однако более веским свидетельством того, что математика пребывает в поле зрения Паскаля, является его переписка с льежским каноником и знатоком геометрии Слюзом. Они обмениваются решениями ряда вопросов, связанных, в частности, с изучением кривых, называемых Блезом «жемчужинами». В мае 1658 года Слюз в письме к Паскалю восхищается его результатами, используя для их характеристики столь нелюбимый поборником «естественного стиля» напыщенный слог и форсированные антитезы: «...Это не весенние цветы, подверженные влияниям времен года, а скорее никогда не увядающие амаранты, собранные в самых прекрасных цветниках геометрии».

Мелкие и разрозненные исследования Паскаля этого периода не предвещали никаких новых открытий, так как были скорее данью прошлому, нежели целеустремленной деятельностью. Кроме того, он считал теперь систематические занятия наукой совершенно бесполезными для себя (и не только для себя), а потому не собирался никогда более к ним возвращаться. Но вернуться все-таки пришлось.

Весной 1658 года здоровье тридцатипятилетнего Блеза в очередной раз резко ухудшается, начинаются невыносимые зубные боли, совсем отнимающие сон и не дающие ни минуты телесного покоя. Однажды поздно вечером, когда герцог де Роаннец покидает своего больного друга и отправляется домой, Паскалю становится совсем плохо. Пытаясь как-то приглушить страдания, он вдруг вспоминает некогда затруднившую Мерсенна задачу о циклоиде, или рулетте, и принимается решать ее.

«Рулетта, — писал Паскаль, — является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что приходится удивляться тому, как не рассмотрели ее древние... ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса, когда оно катится своим привычным движением, с того момента, как гвоздь начал подниматься от земли, до того, как непрерывное качение колеса не приводит его опять к земле после окончания целого оборота, считая, что колесо — идеальный круг, гвоздь — точка его окружности, а земля — идеально плоская».

Действительно, «столь обычная» и «часто встречающаяся линия» стала широко замечаться и фигурировать в науке и технике лишь с XVII века. В настоящее же время циклоидальные кривые по своему практическому значению и использованию стоят рядом с такими популярными кривыми, как эллипс, парабола или баллистическая траектория, и их можно обнаружить в форме профилей зубьев шестерен, в очертаниях эксцентриков, кулачков и других деталей машин. «Путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса», постепенно замечался не только учеными; например, в одном из эпизодов «Путешествий Гулливера» Свифта «на второе был подан пирог в форме циклоиды...». Хотя еще в середине XV века теолог и математик Николай Кузанский, наблюдая за движущимся экипажем, стал размышлять над особенностями этого пути, лишь в конце XVI столетия впервые основательно изучил данную кривую Галилей, который и назвал ее циклоидой (название происходит от греческого слова kykloeides — кругообразный). Галилей пытался вычислить площадь циклоиды и сравнить ее с площадью «порождающего круга». Для этого он изготовил соответствующие металлические поверхности и взвесил их: оказалось, что площадь циклоиды приблизительно в три раза больше площади круга. Сам основатель современного естествознания о своих исследованиях циклоиды ничего не писал, и о них известно лишь из упоминаний его последователей и учеников — Вивиани, Торричелли и других.

В начале XVII века над «путем, описываемым в воздухе гвоздем колеса», стал задумываться в монастырском уединении и Мерсенн. Во Франции эту кривую назвали рулеттой (от французского глагола rouler — «катиться»). Когда он сообщил о своих наблюдениях Робервалю, тот занялся тщательным исследованием кривой: по методу неделимых он определил центр тяжести и квадратуру рулетты, кубатуру тел ее вращения и ряд других вопросов. Мерсенн в 1638 году писал Декарту по этому поводу: «Что касается господина Роберваля, он нашел множество новых результатов как геометрических, так и механических... Он нашел, что площадь рулетты равна трем площадям ее производящей окружности» (результат, ранее найденный Галилеем приблизительным эмпирическим методом). В ответном письме великий рационалист похвалил решение Роберваля, но тут же подковырнул своего извечного противника, заметив, что задача была довольно проста и малоинтересна. Сам Декарт также занимался вычислением площади циклоиды и построением касательвой к данной кривой, что явилось поводом для традиционной полемики между ним и Робервалем по вопросу приоритета. Если установить истину в этой полемике трудно, то в случае с Торричелли, также исследовавшим циклоиду, Роберваль был явно не прав. Постоянно держа свои результаты в секрете и медля с их публикацией, последний напрасно жаловался на иностранцев, якобы набрасывавшихся на его открытия, словно трутни на мед. Торричелли вполне самостоятельно приготовил собственный «мед». (Влияние Роберваля сказалось в написанной Паскалем в октябре 1658 года «Истории рулетты», где итальянский математик незаслуженно обвиняется в плагиате.)

Хотя Декарт и недоумевал, почему так увлекаются задачами, связанными с этой кривой («Как можно поднимать такой шум по поводу открытия вещи настолько простой...»), но, как видно, циклоида была темой, чрезвычайно популярной в научной среде. Не потому ли она и пришла Паскалю сразу на ум, как только ему понадобилось «лекарство»? В бессонную мучительную ночь, заглушая острейшую боль мощной работой интеллекта, безостановочно выдвигающего цепь стройных доказательств, Блез не только решает задачу Мерсенна, но и делает ряд важных математических открытий в области изучения рулетты. «Ум» побеждает «тело», и когда на следующее утро герцог де Роаннец навещает больного, тот, к его немалому изумлению, чувствует себя гораздо лучше.