В модифицированной модели Зоммерфельда главное квантовое число n определяет допустимые значения k⁴⁹. Если n = 1, то k = 1; когда n = 2, то возможны значения k = 1 и k = 2; при n = 3 значения k = 1,2,3. Для заданного значения n число k может принимать все целочисленные значения от единицы до n. Все орбиты при k = n являются круговыми. Однако если k меньше n, то орбита — эллипс. Например, когда n = 1 и k = 1, орбита — это окружность, радиус которой r называется боровским радиусом. Если n = 2, а k = 1, то орбита — эллипс. Но если n = 2 и k = 2, то орбита — окружность, радиус которой равен 4r. Таким образом, если атом водорода находится в квантовом состоянии n = 2, его единственный электрон может находиться на одной из двух орбит, где k = 1 или k = 2. В состоянии с n = 3 электрон может находиться на одной из трех орбит. Эти орбиты суть эллипс при n = 3 и k = 1; эллипс — при n = 3 и k = 2; окружность — при n = 3 и k = 3. В модели Бора при n = 3 только одна разрешенная орбита, а в модифицированной модели Зоммерфельда таких орбит три. Эти дополнительные стационарные состояния позволяют объяснить расщепление линий серии Бальмера.

Рис. 8. Электронные орбиты для n = 3 и k = 1,2,3 в модели атома водорода Бора — Зоммерфельда.

Чтобы объяснить расщепление спектральных линий, Зоммерфельд обратился к теории относительности Эйнштейна. Как и скорость кометы, вращающейся вокруг Солнца, скорость электрона на эллиптической орбите возрастает, когда он приближается к ядру. Но, в отличие от кометы, скорость электрона настолько велика, что его движение надо описывать уравнениями теории относительности. Отсюда следует, что увеличивается масса электрона. Релятивистское увеличение массы приводит к очень небольшому изменению энергии. В состоянии n = 2 две орбиты, k = 1 и k = 2, имеют разные энергии, поскольку при k = 1 орбита эллиптическая, а при k = 2 — круговая. Небольшая разница энергий означает наличие двух энергетических уровней и, следовательно, двух спектральных линий там, где теория Бора предсказывает только одну. Однако было еще два явления, которые не удавалось объяснить и с помощью квантового атома Бора — Зоммерфельда.

В 1897 году голландский физик Питер Зееман обнаружил, что в магнитном поле одна спектральная линия расщепляется на несколько линий или компонент. Если магнитное поле выключить, расщепление пропадает. Этот эффект был назван эффектом Зеемана. В 1913 году немецкий физик Иоханнес Штарк обнаружил, что спектральная линия расщепляется и тогда, когда атом помещен в электрическое поле⁵⁰. После опубликования статьи Штарка Резерфорд связался с Бором: “Мне кажется, что теперь самое время высказаться об эффекте Зеемана и об аналогичном эффекте в электрическом поле. Их надо, если это возможно, согласовать с Вашей теорией”⁵¹.

Еще до Резерфорда Зоммерфельд обратился к Бору с таким же предложением. Вскоре после публикации первой части своей “трилогии” Бор получил от него письмо с поздравлениями. Зоммерфельд, в частности, спрашивал: “Не собираетесь ли Вы использовать свою модель для объяснения эффекта Зеемана? Я бы очень хотел разобраться в этом”⁵². Однако объяснить эффект Зеемана удалось Зоммерфельду, а не Бору. Решение было очень остроумным. До этого он ввел в рассмотрение эллиптические орбиты, по которым движутся электроны. Таким образом, увеличилось число допустимых квантованных орбит, где может находиться электрон при данном энергетическом состоянии атома, например при n = 2. И Бор, и Зоммерфельд считали, что орбиты — неважно, круговые или эллиптические, — лежат в одной плоскости. Пытаясь осмыслить эффект Зеемана, Зоммерфельд понял, что ориентация орбит в пространстве и есть недостающее звено. Электрон в магнитном поле может выбирать из большего числа разрешенных орбит. Эти орбиты по-разному ориентированы относительно магнитного поля. Чтобы проквантовать ориентацию орбит, Зоммерфельд ввел так называемое “магнитное” квантовое число т. Для данного значения главного квантового числа n число m может принимать все целочисленные значения от -n до n⁵³. Так, если n = 2, то значения m равны -2; -1; 0; 1; 2.

“Не думаю, что когда-либо чтение доставляло мне большее удовольствие, чем при знакомстве с Вашей прекрасной работой”, — написал Бор Зоммерфельду в марте 1916 года. Различная ориентация электронных орбит (пространственное квантование) было экспериментально обнаружено пятью годами позднее. Это значит, что электрону во внешнем магнитном поле доступно большее число энергетических состояний, что и приводит к эффекту Зеемана. Эти состояния нумеруются тремя квантовыми числами: n, k и m.

Для объяснения экспериментов Зоммерфельду ничего не оставалось, как ввести два новых квантовых числа — k и m. Позднее, основываясь во многом на работе Зоммерфельда, был объяснен и эффект Штарка: он обусловлен изменением в присутствии электрического поля расстояния между энергетическими уровнями. Тем не менее у модели Бора — Зоммерфельда оставались слабые места. Например, не удавалось правильно воспроизвести интенсивность спектральных линий. Но успехи модели признавались всеми. Одновременно укреплялась репутация Бора. Как признание его заслуг, в Копенгагене для него был создан специальный институт. Бор был на пути к тому, чтобы стать, по выражению Зоммерфельда, “директором атомной физики”⁵⁴. Это звание он заслужил благодаря своим работам и тому воодушевляющему влиянию, которое испытал каждый, с кем ему приходилось работать.

Для Бора слова Зоммерфельда прозвучали как комплимент. Он всегда мечтал так наладить у себя работу и создать ту же атмосферу, что и в лаборатории Резерфорда. У своего учителя Бор научился не только физике. Он увидел, как Резерфорд умел подстегнуть любопытство молодых физиков, заставлявшее их работать на пределе возможностей. В 1917 году Бор приступил к осуществлению своего замысла: создать подобие той чудо-лаборатории, в которой ему посчастливилось работать в Манчестере. Он обратился к властям Копенгагена с просьбой о создании Института теоретической физики при университете. После того, как друзья помогли найти деньги на покупку земли и строительство, проект был одобрен. Место выбрали очень удачное: на краю красивого парка недалеко от центра города. К строительству приступили в следующем году, после окончания войны.

Работы только начинались, когда Бор получил письмо, выбившее его из колеи: Резерфорд предлагал ему вернуться в Манчестер и занять место постоянного профессора теоретической физики: “Я думаю, что, объединив усилия, мы сможем произвести настоящий бум в физике”⁵⁵. Предложение было очень соблазнительным, но Бор не мог уехать из Дании после того, как получил все, о чем просил. Может быть, если бы Бор все-таки принял предложение Резерфорда, тот не уехал бы из Манчестера: в 1919 году Резерфорд сменил Томсона на посту директора Кавендишской лаборатории.

Формально Институт теоретической физики (сейчас его называют Институтом им. Нильса Бора) открылся 3 марта 1921 года⁵⁶. К тому времени значительно увеличившаяся семья Бора переехала в квартиру из семи комнат на первом этаже институтского здания. Ужасы войны и тяжелые послевоенные годы были позади. Очень скоро институт стал, как и надеялся Бор, пристанищем созидателей. Он, как магнит, притягивал ярких физиков со всего мира, но самый талантливый из них всегда держался немного в стороне.