Однако страх перед нолем коренился глубже, чем страх бездны. Для древних математические свойства ноля были непостижимы, столь же окутаны тайной, как и рождение Вселенной. Причина этого крылась в том, что ноль отличается от всех остальных чисел. В отличие от других цифр в вавилонской системе, нолю никогда не позволялось стоять в одиночку – и не без основания. Оказавшись сам по себе, ноль ведет себя странно, по крайней мере не так, как остальные числа.

Если прибавить число к самому себе, оно изменится. Один плюс один – уже не один, а два. Два и два дают четыре. А вот ноль плюс ноль есть ноль. Это нарушает основной принцип счисления, называемый аксиомой Архимеда и говорящий, что если прибавлять число к самому себе достаточное количество раз, результат превзойдет по величине любое другое число. (Аксиома Архимеда была сформулирована в терминах площадей; число рассматривалось как разница между двумя неравными площадями.) Ноль же отказывается увеличиваться. Он также отказывается увеличивать любое другое число. Сложите два и ноль, и вы получите два; дело выглядит так, словно вы и не складывали ничего. То же самое происходит и при вычитании. Отнимите ноль от двух, и вы получите два. Ноль не имеет реальности. Однако это лишенное реальности число угрожает нарушить простейшие математические операции, такие как умножение и деление.

В области чисел умножение означает растяжение – в буквальном смысле слова. Представьте себе, что числовая ось – это резиновая лента с делениями на ней (рис. 4). Умножение на два может рассматриваться как растяжение резиновой ленты вдвое: то деление, которое приходилось на отметку «один», теперь переместилось на «два»; приходившееся на «три» – на «шесть». Аналогично умножение на одну вторую сходно с некоторым сжатием резиновой ленты: деление на «два» перемещается на «один», деление на «три» – на «полтора».

Рис. 4. Резиновая лента для умножения

Но что происходит при умножении на ноль? Сколько бы раз ни взять ноль, все равно будет ноль, и все деления соберутся на ноле. Резиновая лента порвалась. Вся числовая ось нарушилась.

К несчастью, нет способа обойти этот неприятный факт. Любое число ноль раз – ноль; это свойство нашей системы счисления. Чтобы в повседневно используемых числах был смысл, они должны обладать тем, что именуется свойством дистрибутивности, что лучше всего видно на примере. Представьте себе, что в магазине игрушек мячи продаются по две штуки, а кубики – по три. Соседний магазин игрушек торгует наборами из двух мячей и трех кубиков. Каждая упаковка из двух мячей и каждая упаковка из трех кубиков – такой же один предмет, как и упаковка с набором мячей и кубиков из соседнего магазина. Если быть последовательным, то покупка семи упаковок мячей и семи упаковок кубиков в первом магазине должна быть тем же самым, что и покупка семи наборов во втором. Это и есть свойство дистрибутивности. Используя математическую запись, мы выразили бы это так: 7 × 2 + 7 × 3 = 7 × (2 + 3). Все получается правильно.

Если же применить это свойство к нолю, получается нечто странное. Мы знаем, что 0 + 0 = 0. Возьмем в качестве примера число 2. 2 + 0 = 2 + (0 + 0); согласно свойству дистрибутивности, мы также знаем, что 2 × (0 + 0) – то же самое, что 2 × 0 + 2 × 0. Однако это означает, что 2 × 0 = 2 × 0 + 2 × 0. Чем бы ни было 2 × 0, когда вы прибавляете это число к самому себе, оно остается тем же самым, очень похожим на ноль. На самом деле это он и есть. Если вычесть 2 × 0 из обеих частей равенства, мы увидим, что 0 = 2 × 0. Таким образом, что бы вы ни делали, умножение числа на ноль дает ноль. Это зловредное число сжимает числовую ось в точку. Однако сколь бы досадным ни было это свойство, истинная сила ноля делается очевидной при делении, а не умножении.

Если умножение растягивает числовую ось, то деление сжимает ее. Умножьте какое-нибудь число на два, и вы растянете резиновую ленту – числовую ось – вдвое; разделите результат на два, и резиновая лента сожмется вдвое, произведя действие, обратное умножению. Производя деление, вы уничтожаете следствие умножения: метка на резиновой ленте, переместившаяся на новое место, возвращается в прежнее положение.

Мы видели, что произошло при умножении числа на ноль: числовая ось была уничтожена. Деление на ноль должно было быть противоположностью умножению на ноль – оно должно было бы восстановить числовую ось. К несчастью, этого не происходит.

В предыдущем примере мы видели, что 2 × 0 есть 0. Таким образом, чтобы совершить действие, обратное умножению, мы должны предположить, что (2 × 0) / 0 вернет нас к 2. Точно так же (3 × 0) / 0 должно вернуть нас к 3, (4 × 0) / 0 – к 4… Однако каждое из чисел 2 × 0, 3 × 0, 4 × 0, как мы видели, равно 0, так что (2 × 0) / 0 = 0 / 0, (3 × 0) / 0 = 0 / 0, (4 × 0) / 0 = 0 / 0. Увы, это означает, что 0 / 0 = 2, а также 0 / 0 = 3, 0 / 0 = 4… Это же бессмыслица!

Странные вещи происходят и в том случае, если мы посмотрим на 1 / 0 с другой точки зрения. Умножение на ноль должно произвести действие, обратное делению на ноль, так что 1 / 0 × 0 должно быть равно 1. Однако мы видели, что любое число, умноженное на ноль, дает ноль. Нет такого числа, которое, умноженное на ноль, давало бы 1, по крайней мере, среди чисел, с которыми мы встречались.

Хуже всего то, что если вы необдуманно разделите на ноль, вы можете разрушить все основы логики и математики. Достаточно всего один раз – один-единственный – разделить на ноль, и это позволит вам математически доказать все что угодно. Вы сможете доказать, что 1 + 1 = 42, а из этого вывести, что Эдгар Гувер был инопланетянином, Уильям Шекспир – узбеком, и даже что небо – в горошек. (Приложение А поможет вам доказать, что Уинстон Черчилль был морковкой.)

Умножение на ноль уничтожает числовую ось. Однако деление на ноль разрушает всю систему математики.

Это простое число обладает большим могуществом. Оно стало самым важным математическим инструментом. Однако благодаря своим странным математическим и философским свойствам ноль пришел в столкновение с фундаментальной западной философией.

Ноль вступил в противоречие с одним из центральных принципов западной философии, утверждением, корни которого уходят в нумерологию Пифагора и парадоксы Зенона. На этом основании покоилась вся греческая философия: пустоты не существует.

Греческая вселенная, созданная Пифагором, Аристотелем и Птолемеем, выжила и после падения греческой цивилизации. В этой вселенной не существует такой вещи, как ничто. Ноля не существует. По этой причине Запад почти два тысячелетия не мог принять ноль. Последствия этого были печальны. Отсутствие ноля препятствовало росту математики, душило новое в науке и попутно вызвало путаницу с календарем. Прежде чем принять ноль, философы Запада должны были разрушить свою вселенную.

Египтяне, которые изобрели геометрию, не особенно задумывались о математике. Для них это был всего лишь инструмент измерения хода времени и земельных участков. Отношение греков было совсем иным. Для них числа и философия были нераздельны, и к обоим они относились очень серьезно. Греки заходили слишком далеко, когда дело касалось чисел. В прямом смысле слова.