Шарль Эрмит на фотографии 1887 года. Этот французский математик доказал, что число е не является алгебраическим.

Бесконечное множество вещественных чисел содержит рациональные числа, которые являются алгебраическими, и иррациональные числа, часть которых является трансцендентными. Однако трансцендентных чисел больше, чем алгебраических.

Кантор, обнаружив подлинную гениальность (полученные результаты изумили его самого), сформулировал простое доказательство того, что существует бесконечно много трансцендентных чисел. С одной стороны, известно, что множество вещественных чисел не является счётным. С другой стороны, множество алгебраических чисел является счётным. Из этих двух утверждений следует, что существуют числа, которые не являются алгебраическими. Более того, Кантор доказал, что множество этих чисел не является счётным.

Вывод: множество вещественных чисел так велико именно благодаря трансцендентным числам.

Трансфинитные числа

Как мы показали в предыдущем разделе, если дано множество А = {а, b, с, d}, можно образовать ряд его подмножеств

{а}, {b}, {с}, {d}, {а, b), {а, с}, {a, d), {b, с}, {b, d), {с, d), {а, b, с}, {а, b, d}, {а, с, d}, {b, с, d},

которые будут так называемыми собственными подмножествами А. Кроме них, подмножествами А также являются само множество А и пустое множество, обозначаемое символом Ø и не содержащее никаких элементов. Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества, и эти два множества (исходное и пустое) считаются несобственными подмножествами. Добавив к вышеприведённому списку собственных подмножеств эти два множества, мы получим полный перечень всех подмножеств А:

{Ø}, {а}, {b}, {с}, {d}, {а, b}, {а, с}, {а, d}, {b, с}, {c, d}, {с, d}, {а, b, с}, {а, b, d}, {а, с, d}, {b, с, d}, {а, b, с, d}, —

итого 16 подмножеств.

Заметим, что 2⁴=16, таким образом, число подмножеств А равно 2 в степени, равной числу элементов А. Нетрудно доказать, что это соотношение справедливо для всех множеств. Таким образом, для любого множества, содержащего n элементов, число его подмножеств будет равно 2ⁿ.

Множество, образованное всеми подмножествами А, называется множеством степенью A и обозначается 

. Кантор доказал, что для любого множества его множество-степень больше, чем само множество, то есть оно содержит больше элементов, или, если быть математически корректными, его кардинальное число больше, чем у исходного множества. Будем обозначать кардинальное число А как |А|.

Изложенный выше результат можно записать так:

Учёному принадлежит доказательство нескольких теорем, но когда речь идёт о теореме Кантора, обычно имеют в виду именно этот результат, который можно записать в виде

|А|< 2^|A|

Теорема Кантора позволяет упорядочивать бесконечности. Кантор считал, что «самая маленькая» бесконечность соответствует кардинальному числу множества 

— множества натуральных чисел. Это кардинальное число он обозначил .

Таким образом, имеем

По теореме Кантора получим:

Последовательность кардинальных чисел, фигурирующую в этом неравенстве, Кантор назвал числами алеф, присвоив каждому из них порядковый номер: алеф-ноль, алеф-один и т. д. Они записываются буквой еврейского алфавита алеф с индексом:

Это так называемые трансфинитные числа.

В упорядоченной последовательности трансфинитных чисел содержится любое число, которое может существовать, в том числе такое, которое мы даже не можем себе представить. Если до Кантора считалось, что ничто не может быть больше бесконечности, то благодаря его открытиям мы можем с уверенностью утверждать, что всегда существует другая бесконечность, которая будет больше данной. Кантор превзошёл самого Создателя: сколь большое число ни создал бы Бог, всегда будет существовать другое, большее число. И этот научный результат противоречил религиозным взглядам самого Кантора.

Континуум-гипотеза

Пока что мы говорили о кардинальности применительно к множеству. Мы увидели, что понятие кардинальности обозначает число элементов множества, а также что каждому элементу конечных множеств можно последовательно присвоить натуральное число. С другой стороны, когда речь идёт о множествах с бесконечным числом элементов, пронумеровать их составляющие можно с помощью взаимно однозначного соответствия, при котором каждому элементу множества ставится в соответствие натуральное число. Множества, для которых возможно установить такое соответствие, называются счётными. Однако мы также увидели, что существуют множества, которые не являются счётными, и чтобы как-то обозначить количество их элементов, нам пришлось обратиться к понятию кардинальности. Таким образом, кардинальность множества — это не совсем число, а скорее понятие, связанное с числовой величиной. По сути, на этом понятии основан удивительный трюк, позволяющий узнать, насколько велико множество. Заключается он в сравнении множеств по определённым правилам, которые позволяют однозначно сказать, когда множества одинаково велики, а когда — нет. При этом не имеет значения, о конечных или бесконечных множествах идёт речь.