Подход Алена к квантовой гравитации восходил к основам и к изобретению новой математики, которая полностью объединяет математические структуры геометрии и квантовую теорию. Это математика, на которую я ссылался в главе 14, названа некоммутативной геометрией. Слово «некоммутативная» указывает на тот факт, что величины в квантовой теории представляются объектами, которые не коммутируют: То есть, A∙B не равно B∙A. Некоммутативность квантовой теории тесно связана с фактом, что вы не можете измерить положение частицы и её импульс одновременно. Но это кажется противоречащим сущности геометрии, которая стартует от наглядного образа поверхности. Именно способность формировать наглядный образ подразумевает полную определённость и полное знание. Сделать версию чего-то, подобного геометрии, построенной на вещах, которые не могут быть известны одновременно, на самом деле являлось основательным шагом. Что убеждает в ней, так это то, что она предлагает новую унификацию некоторых областей математики, одновременно продвигаясь вперёд как подходящая математика для следующего этапа в физике.
Некоммутативная геометрия обнаруживалась в нескольких подходах к квантовой гравитации, включая теорию струн, DSR и петлевую квантовую гравитацию. Но ни один подход не охватил глубины оригинальной концепции Конне, которую он и несколько математиков, большей частью во Франции, продолжают развивать[97]. Различные её версии, которые появляются в других программах, основываются на поверхностных идеях, таких как выразить координаты пространства и времени в некоммутативных величинах. Идея Конне намного глубже; она заключается в унификации оснований алгебры и геометрии. Она могла бы быть изобретением только того, кто не просто изучает математику, но стратегически и творчески мыслит по поводу структуры математического знания и его будущего.
Подобно старым твисторным теоретикам, несколько последователей, которыми обзавёлся Конне, являются его ярыми сторонниками. Для конференции по различным подходам к квантовой гравитации в Университете штата Пенсильвания Ален порекомендовал известного старейшего французского физика по имени Дэниэл Кастлер. Джентльмен за неделю до конференции прервал своё путешествие, попав в велокатастрофу, но он выкарабкался из госпиталя и добрался до Марсельского аэропорта, прибыв точно вовремя, чтобы открыть заседание следующим заявлением: «Имеется один истинный Ален, и я пророк его». Струнные теоретики являются не единственными, кто имеет своих истинных верующих, но некоммутативные геометры, несомненно, имеют лучшее чувство юмора.
Один из успехов некоммутативной геометрии в том, что она приводит непосредственно к стандартной модели физики частиц. Как открыли Ален и его коллеги, если вы берёте максвелловскую теорию электромагнетизма и записываете её в простейшей возможной некоммутативной геометрии, выскакивает модель Вайнберга-Салама, объединяющая электромагнетизм со слабыми ядерными силами. Другими словами, слабые взаимодействия вместе с Хиггсовыми полями обнаруживаются автоматически и корректно.
Вспомним из главы 2, что один из способов сказать, является ли особое объединение успешным, заключается в том, что там немедленно появляется обоснование, что теория согласуется с природой. Тот факт, что правильная унификация слабой и электромагнитной сил происходит из простейшей версии идеи Конне, является неотразимым. Это разновидность вещи, которая могла бы произойти с теорией струн, но не произошла.
Имеется другой набор подходов, которые фокусируются на том, как могли бы классическое пространство-время и физика частиц возникнуть из лежащей в основании дискретной структуры. Эти модели разрабатывались физиками из теории конденсированной материи, такими как Роберт Лафлин из Стэнфорда, Григорий Воловик из Хельсинкского технологического университета и Ксао-Гань Вэн из Массачусетского технологического института. Недавно эти подходы были подхвачены молодыми людьми в квантовой гравитации, такими как Олаф Дрейер. Эти модели примитивны, но они показывают, что аспекты СТО, такие как универсальность и верхний предел скорости, могут появляться из определённых видов дискретных квантовых систем. Одно провокационное утверждение Воловика и Дрейера заключается в том, что проблема космологической константы решена — поскольку, прежде всего, она никогда не была на самом деле проблемой. Они утверждают, что идея, что здесь была проблема, была ошибкой, следствием слишком серьёзного восприятия фоново-зависимых теорий. Ошибка, утверждают они, возникает из разделения на части основных переменных теории и трактовки некоторых из них как замороженного фона, а других как квантовых полей[98]. Если они правы в отношении этого, это будет самым важным результатом, который был получен от квантовой гравитации за много лет.
Рисунок 15. Спиновая сеть, которая является состоянием квантовой геометрии в петлевой квантовой гравитации и связанных с ней теориях. Показаны кванты объёма, ассоциированные с вершинами, и кванты площади, ассоциированные с рёбрами.
Рисунок 16. Спиновые сети эволюционируют во времени через серии локальных изменений, подобных этим.
Все подходы, которые я описал, являются независимыми от фона. Некоторые начинают с предположения, что пространство-время составлено из дискретных строительных кирпичиков. Одному подходу удалось сделать лучше и показать, что дискретность пространства и времени является следствием соединения вместе принципов квантовой теории и теории относительности. Это то, чего достигла петлевая квантовая гравитация. Она так и начала с революционной переформулировки Аштекаром эйнштейновской ОТО в 1986 году. Мы нашли, что, не добавляя входных данных, но просто переписав теорию Эйнштейна в терминах нового набора переменных, стало возможным точно вывести, что такое квантовое пространство-время.
Ключевая идея, стоящая за петлевой квантовой гравитацией, на самом деле стара, что мы уже обсуждали в главе 7. Это идея описания поля, подобного электромагнитному полю, прямо в терминах линий этого поля. (Слово «петлевая» возникает из того факта, что в отсутствие вещества линии поля могут замыкаться, формируя петли.) Это было предвидение Хольгера Нильсена, Александра Полякова и Кеннета Вильсона, и это была одна из идей, которая привела к теории струн. В своей основе теория струн является развитием этой провидческой идеи в контексте фиксированного фона пространства и времени. Петлевая квантовая гравитация есть та же самая идея, но развитая в полностью фоново-независимой теории.
Этот труд стал возможным благодаря великому открытию Аштекара, что ОТО могла бы быть выражена на языке, подобном языку калибровочных полей. Метрика пространства-времени тогда оказывается чем-то подобным электрическому полю. Когда мы пытаемся рассмотреть соответствующие силовые линии квантово-механически, мы вынуждены рассматривать их без фона, поскольку его нет — полевые линии уже описывают геометрию пространства. Раз уж мы сделали их квантово-механически, классической геометрии не остаётся. Так что мы заново изобрели квантовую теорию поля, чтобы работать без фоновой метрики. Чтобы сократить длинную историю, это пытались сделать многие люди с различными уровнями по физике и математике, но мы преуспели. Результат является петлевой квантовой гравитацией.
Итоговая картина очень проста. Квантовая геометрия есть определённый вид графа (см. Рис. 15). Квантовое пространство-время есть последовательность событий, по которым эволюционирует граф через локальные изменения в своей структуре. Это лучше всего иллюстрируется примерами, которые показаны на Рис. 16.
Теория приводит ко многим успехам. Она оказывается конечной в трёх смыслах:
1. Квантовая геометрия конечна, так что площади и объёмы выражаются в дискретных единицах.
