* * *
На протяжении более двух тысячелетий многие знаменитые математики бились над проблемой пятого постулата, называемой также задачей о параллелях.
Ключевым моментом в решении этого вопроса стала работа итальянского математика Джироламо Саккери (1667–1733). Вместо того чтобы вывести пятый постулат из предыдущих, он использовал метод от противного. Доказательство основывалось на четырехугольнике с двумя прямыми углами А и D и равными сторонами АВ и CD. Для других равных углов В и С существует три возможности:
1) В = С = 90° (гипотеза прямых углов, или евклидова гипотеза);
2) В = С > 90° (гипотеза тупых углов);
3) В = С < 90° (гипотеза острых углов).
Четырехугольник Саккери с двумя прямыми углами.
Гипотеза тупых углов быстро отбрасывается, о гипотезе острых углов Саккери сказал следующее: «Гипотеза острых углов абсолютно ложна, потому что противна самой природе прямой линии». И Саккери, и немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) получили интересные геометрические результаты, вытекающие именно из гипотезы острых углов.
Лишь в XIX в. Гаусс, Лобачевский и Бойяи окончательно решили эту проблему, хотя немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс не публиковал свои открытия, поскольку они противоречили философским доктринам той эпохи о природе пространства.
Русский математик Николай Иванович Лобачевский был первым, кто обнародовал новую геометрию, отличавшуюся от геометрии Евклида. Лобачевский назвал ее «воображаемой геометрией», и теперь она известна как гиперболическая геометрия. Она соответствует гипотезе острых углов Саккери, по которой через точку вне данной прямой проходит бесконечное количество прямых, параллельных данной.
Лобачевский представил свою работу в 1826 г. на конференции в Казанском университете, где он работал, а затем опубликовал ее в журнале «Казанский вестник» в серии статей под названием «О началах геометрии». Три важнейшие его работы содержат описание новой геометрии: «О началах геометрии» (на русском языке), «Геометрические исследования по теории параллельных линий» (на немецком языке) и его последняя книга «Пангеометрия» (на русском и французском языках).
Математик-любитель и офицер австро-венгерской армии Янош Бойяи (1802–1860) подошел к задаче с несколько иной точки зрения. Он разработал абсолютную геометрическую теорию, используя только первые четыре постулата, и исследовал, зависят ли полученные геометрические результаты от пятого постулата. Его статья была опубликована в 1832 г. в виде приложения к работе его отца, близкого друга Гаусса, математика Фаркаша Бойяи (1775–1856), который также работал над проблемой о параллелях. Он так написал об этом своему сыну: «Ради бога, молю тебя, оставь эту материю. Страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни…»
* * *
ИММАНУИЛ КАНТ И ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
После эпохи Возрождения образ Бога начал терять свое значение в области математики и науки в целом. Позже, в XVIII в., роль Бога как архитектора мира еще более поблекла. Говорят, что Наполеон упрекал французского математика Пьера Лапласа (1749–1827) в том, что в его главной работе «Небесная механика» тот не упоминал Творца, на что Лаплас ответил: «Сир, я не нуждался в этой гипотезе».
Но тогда философы задались вопросом, а верны ли сами математические законы природы?
Шотландский философ Дэвид Юм (1711–1776) считал, что наше знание о мире является субъективным, поскольку оно получено через наши органы чувств. Другими словами, никто не может гарантировать существование объективного физического мира, и, следовательно, не имеет смысла говорить о его научных законах.
Со своей стороны, Кант в работе «Критика чистого разума» (1781) утверждал, что пространство и время являются формами восприятия и интуиции, на основании которых ум рассматривает реальность. Так как понятие пространства находится в нашем сознании, оно принимает форму определенных истин, которые Кант называл «априорными синтетическими суждениями», являющимися частью наших врожденных умственных способностей. Геометрия просто следует из них. Евклидова геометрия и трехмерное пространство являются частью этих истин априори.
* * *
И сумма углов треугольника, и количество прямых, параллельных данной прямой линии и проходящих через точку вне ее, зависит от типа геометрии: евклидовой, гиперболической или эллиптической.
Сначала работы этих гениев никого не заинтересовали. Труды Лобачевского были в основном на русском языке, а Бойяи опубликовал свою статью в качестве приложения. Математическое сообщество проявило интерес к этой теме только после лекции немецкого математика Бернхарда Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854), которую мы рассмотрим более подробно в следующих главах. Риман был первым математиком, который обратил внимание на возможность существования геометрии, вытекающей из гипотезы тупых углов, так называемой эллиптической геометрии, в которой не существует прямых, параллельных данной прямой и проходящих через точку вне ее. Его идея заключалась в замене гипотезы бесконечного пространства на гипотезу неограниченного пространства. Например, сфера является конечной, но неограниченной.
* * *
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ (1792–1856)
Отец неевклидовой геометрии был человеком скромным, очень хорошо воспитанным и серьезным, неутомимым работником, который посвятил свою жизнь работе в Казанском университете. После окончания физико-математического факультета родного университета он начал в нем преподавать и вскоре получил должность декана факультета, а затем стал ректором Казанского университета. Этот пост он занимал в течение 19 лет. Параллельно с занятиями математикой он добился исключительных результатов на этой должности. Он улучшал здания университета и строил новые, организовывал работу библиотеки (иногда лично сортируя книги), открыл лабораторию и новую клинику и привлек на работу лучших преподавателей и ученых. Кроме геометрии Лобачевский также интересовался другими областями математики, такими как тригонометрические ряды, теория вероятностей, механика и интегральное исчисление. Наиболее важной негеометрической его работой была «Алгебра, или Вычисление конечных».
Советская марка с портретом Лобачевского.
Рождение многомерной геометрии
В 1822 г. с публикацией работы Гаусса «Исследования относительно кривых поверхностей» появилась новая ветвь геометрии — дифференциальная геометрия, в которой используется дифференциальное и интегральное исчисление для изучения кривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Сразу после открытия этого исчисления в работах Ньютона и Лейбница математики стали использовать этот мощный инструмент для анализа кривых, а впоследствии Эйлер и Монж начали применять его также для поверхностей.
Однако даже работа Гаусса не содержит систематического и исчерпывающего исследования поверхностей в трехмерном пространстве. Гаусс заинтересовался поверхностями, когда занимался задачами геодезии и картографии, еще в Ганновере работая над методом триангуляции, а также благодаря своим астрономическим исследованиям. В «Общих исследованиях о кривых поверхностях», изучая поверхности в геометрических пространствах, он открыл новый научный метод. Он первым начал рассматривать поверхности как объекты, которые могут быть описаны двумя координатами и хг называемыми локальными координатами. До Гаусса поверхности считались всего лишь границами твердых тел. В то время как обычная геометрия изучала объекты на плоскости и в пространстве в их целостности, новая дифференциальная геометрия концентрировалась на отдельных локальных свойствах кривых и поверхностей.
