Рис. В-2. Экспоненциальное выравнивание первого порядка и запаздывание.

Допустим, что S в уравнении В-1 является вводом в запаздывание, выход из которого обозначен индексом W (см. рис. B–2). Уравнения экспоненциального запаздывания первого порядка могут быть представлены в следующем виде:

B-2, L

B-3, R

где

L — уровень в запаздывании (единицы S, умноженные на время);

S — входящий поток информации (в своих единицах измерения);

W — исходящий поток из запаздывания (те же единицы, что и S);

Т — постоянная времени экспоненциального выравнивания (единицы времени).

Уравнение В-3 может быть записано для более раннего периода:

Подставив это значение в уравнение В-2, получим

Если мы теперь предположим, что L.K = (T)(A.K), то после простых преобразований получим уравнение

которое идентично уравнению В-1. Следовательно, уравнение экспоненциального выравнивания и уравнение запаздывания первого порядка эквивалентны.

Экспоненциальное выравнивание первого порядка вызывает запаздывание в потоках информации той же величины и формы, что и экспоненциальное запаздывание первого порядка. Постоянная времени выравнивания эквивалентна постоянной запаздывания, которая рассматривалась в главе 8.

Запаздывание, создаваемое выравниванием, может быть представлено графически. На рис. В-3 представлено равномерное усреднение.

Рис. B-3. Запаздывание, обусловленное равномерным усреднением.

Действительные значения рассматриваемой переменной показаны равномерно увеличивающимися. В любой момент времени средняя величина равна значению действительной величины в середине периода усреднения; другими словами, средняя величина равна действительной с запаздыванием в ¹/₂ интервала усреднения.

Рис. В-4. Запаздывание, обусловленное экспоненциальным усреднением.

На рис. В-4 показано запаздывание при экспоненциальном выравнивании для случая равномерно возрастающей переменной. Как видно из графиков, запаздывание должно быть равным постоянной времени T; это можно легко доказать, рассмотрев подобные треугольники:

где у является изменением среднего значения величины, изображенной на рисунке, и равно правой части уравнения B–1, которое так же отражает изменение значения средней величины. Поэтому величина Т, отображающая на рисунке запаздывание в получении среднего значения по сравнению с действительным, обязательно должна быть равна по величине постоянной времени в уравнении B–1.

Постоянное запаздывание, обусловленное экспоненциальным выравниванием, как это показано на рис. В-4, имеет место только в случае линейно изменяющихся входных данных. При нелинейных потоках информации запаздывание, связанное с выравниванием, будет определяться более сложно. Можно показать, что для синусоидально изменяющихся входных данных запаздывание никогда не превышает четверти периода колебания на входе.

При выравнивании поток информации искажается как по амплитуде, так и во времени. Характер искажений зависит от величины изменений, которые вносятся во входную информацию, от используемого типа выравнивания и объема выравнивания, который определяется видом и степенью нежелательных возмущений, существующих в информации. Почти все потоки информации выравниваются либо посредством формальных математических приемов, либо под воздействием психологических суждений, либо с использованием того и другого методов выравнивания, прежде чем они лягут в основу принимаемых решений. Запаздывания и усиления, обусловленные процессом выравнивания, как мы видели в части III, существенно влияют на динамическое поведение системы.

Даже в тех случаях, когда модель проигрывается при отсутствии помех (как это изображено на большинстве рисунков в части III), процессы выравнивания должны быть отражены в модели. Выравнивание, обусловленное присутствием помех, неизбежно проявляется как фильтр, искажающий желаемую информацию. Эти искажения должны быть отражены даже при отсутствии помех, если мы хотим, чтобы система была правильно отображена в модели.

Приложение C

ШУМЫ

При работе с моделями замкнутых информационных систем необходимо четко понимать природу и происхождение шумов. Функции принятия решений, которые мы можем сформулировать, объясняют только главные факторы, влияющие на основные потоки. Многочисленные явления возникают за пределами изучаемой системы. Как отмечалось ранее в приложении В, наличие шумов, то есть случайных явлений, требует выравнивания, сглаживания данных, что в свою очередь вызывает запаздывания. Как видно из рис. 13–20 и 15-5, шумы порождают такие возмущения, к которым система чувствительна. Специальное исследование показывает, что шумы ограничивают возможность прогнозирования будущего состояния системы.

В данной книге мы решили начинать построение моделей с рассмотрения непрерывных, свободных от помех потоков информации, решений и действий. После того как изучена динамика системы при отсутствии помех, шумы могут быть введены дополнительно с тем, чтобы показать влияние случайных явлений на поведение системы. Такой порядок изучения отличается от подхода, принятого при рассмотрении стохастических моделей, в которых решения сформулированы так, чтобы создать последовательности отдельных событий, статистическая вероятность свершения которых может определяться состоянием системы. Автор считает, что, изучая вначале систему, свободную от помех, можно легче понять, каким образом основная структура системы определяет ее действия.

Когда мы будем готовы ввести составляющую шума в решения системы, мы должны четко представлять методологию того, как выполнить эту работу. Как следует определять шумы? Какие характеристики шумов интересуют нас? Сигнал шума несет мощность в широкой полосе частот.

Известно множество различных категорий шумов. В физических науках термин «белый шум» применяется для описания непрерывной функции, которая характеризуется равномерным распределением энергии по всему спектру частот от нуля до бесконечности, а плотность распределения вероятностей удовлетворяет Гауссову распределению. Белый шум является непрерывным сигналом, имеющим бесконечную мощность источника, и он может иметь мгновенные значения бесконечно большими; значение его в данный момент ничего не говорит о его значении в следующий момент времени даже через бесконечно малый интервал времени.

Рис. С-1. Белый шум имеет постоянную величину мощности, отнесенной к интервалу частоты.