В результате такого кодирования стала возможной запись арифметических высказываний, ссылающихся на самих себя, как в случае, когда человек говорит «Я говорю неправду». Более того, Гёделю удалось построить одно особое суждение, которое обладало таким свойством и в сущности заключалось в фразе «Это высказывание нельзя доказать». Из этого следовало, что данное суждение не имело доказательства своей верности, поскольку в таком случае возникло бы противоречие. Однако по той же причине назвать его неверным тоже не представлялось возможности. Подобное высказывание не могло быть доказано или опровергнуто методом логической дедукции из аксиом, таким образом Гёдель доказал неполноту арифметики, которую Гильберт обозначил в одном из своих вопросов.

Тем не менее удивительным свойством особого высказывания Гёделя оставалось то, что в силу своей «недоказуемости», в некотором смысле оно было верным. Но чтобы назвать его верным, требовался наблюдатель, который мог бы взглянуть на систему со стороны. Работая в пределах системы аксиоматики, подобное представлялось бы невозможным.

Следующая особенность заключалась в том, что доказательство требовало назвать арифметику последовательной. И если бы арифметика в действительности оказалась бы непоследовательной, каждое высказывание автоматически стало бы «доказуемым». Таким образом Гёдель сузил область исследования поставленных вопросов, доказав, что формальная система арифметики может быть либо непоследовательной, либо неполной. Также он показал, что последовательность арифметики не может быть доказана в пределах собственной системы аксиоматики. Для подобного доказательства было необходимо установить, что существует некоторое суждение (например, 2 + 2 = 5), верность которого не могла быть доказана. Однако, Гёдель смог показать, что подобное суждение обладает тем же свойством, каким обладает фраза «Это высказывание нельзя доказать». Именно так ученому удалось расправиться с первыми двумя вопросами, поставленных перед наукой Гильбертом. Арифметика не имела доказательства своей последовательности, более того, она не могла быть одновременно последовательной и полной. Это поразительное заявление ознаменовало новый этап в исследованиях, поскольку Гильберт до этого момента надеялся, что его программа сможет свести все факты воедино. И большим огорчением оно стало для тех, кто стремился увидеть в математике нечто абсолютно совершенное и неопровержимое. Однако, вместе с этим открытием возник ряд новых вопросов.

Последние лекции курса, который читал Ньюман, были посвящены доказательству теоремы Гёделя, и таким образом Алан достиг границы известных науке знаний. И все же третий вопрос Гильберта оставался еще открытым, хотя теперь он рассматривался с точки зрения своей «доказуемости», а не «верности», как ранее. Полученные Гёделем результаты не исключали возможность существования некоторого метода определения, какие суждения являются доказуемыми, а какие – нет. Возможно, некоторые утверждения Гёделя следовало исключить. Но существовал ли определенный метод или, как выразился Ньюман, «механический процесс», который мог бы быть применен к математическому утверждению и в результате которого возник бы ответ, доказуемо ли данное утверждение?

С одной стороны, такое требование казалось почти невыполнимым и затрагивало самую суть всего, что было известно о математике с позиции креативного мышления. Так, в 1928 году Харди отнесся к этой идее с особым негодованием, заявив:

Тем временем в науке оставалось множество теорем и суждений, которые веками не находили своего доказательства или опровержения. Такой оставалась известная под названием Великая или Последняя теорема Ферма, предполагающая невозможность разложить куб на два куба, биквадрат – на два биквадрата и, в общем случае, любую степень, большую двух, в сумму таких же степеней. Другим примером явилась гипотеза Гольдбаха, формулировка которой заключалась в том, что каждое четное число больше 2 можно представить как сумму двух простых чисел. Трудно было поверить, что не находившие многие годы своего решения теоремы могли в действительности найти его попросту исходя из некоего набора установленных правил. Более того, сложные проблемы, которые были решены, такие как теорема Гаусса о четырех квадратах, редко находили доказательство подобным путем применения «механического набора правил», и скорее задействовали творческое воображение, создавая новые абстрактные алгебраические идеи. Как заметил Харди, «только неискушенный непрофессионал может себе представить, что открытия в математике происходят по одному повороту рычага какой-то сверхъестественной машины».

С другой стороны, с развитием математики стало возникать все больше и больше проблем, так или иначе связанных с «механическим» методом. Харди мог полагать, что, разумеется, он не мог охватить всю математику, но после исследований Гёделя ничто уже не казалось самим собой разумеющимся. Вопрос требовал более глубокое его изучение.

Оказавшаяся столь содержательной фраза Ньюмана о «механическом процессе» никак не выходила у Алана из головы. Тем временем, весна 1935 года ознаменовала два других решительных шага вперед. Избрание в члены Совета Кингз-Колледжа было назначено на 16 марта. К тому времени одним из членом коллегии выборщиков стал Филип Холл, который усомнился в заслугах Алана, заявив, что повторное открытие Центральной предельной теоремы не могло показать весь скрытый потенциал молодого ученого. Однако, поддержка не заставила себя ждать. Кейнс, Пигу и ректор Джон Шеппард уже успели по достоинству оценить его достижения. Итак, Алан был первым выпускником своего курса, кто получил это звание среди остальных сорока шести членов Совета колледжа. В Шерборнской школе по этому поводу был объявлен короткий учебный день, и ученики быстро сочинили в честь Алана клерихью:

На тот момент Алану было лишь двадцать два года. Членство в Совете означало получение трехсот фунтов годовых в течение трех лет, причем срок этот обычно растягивался до шести лет, и никаких определенных обязанностей. Также это звание обеспечило Алану, который предпочел остаться в Кембридже, проживание в общежитии и питание, а также место за профессорским столом. В первый же вечер своего пребывания с новым званием в профессорской он обыграл ректора в рамми и получил от него несколько шиллингов. И все же время за ужином он предпочитал проводить как раньше – в компании своих старых приятелей: Дэвида Чамперноуна, Фреда Клейтона и Кеннета Харрисона. В общем, членство никак не изменило его привычек и привычный ход жизни, но вместе с тем подарило три года свободы и независимости, когда он мог выбрать себе занятие по вкусу, той свободы, которую ему сулил постоянный ежегодный доход. Между тем, к своему новому званию он также добавил должность куратора группы студентов в находящемся по соседству Тринити-Холле. И когда они заходили к нему в комнату в надежде найти там нечто экстравагантное, коим отличались многие выпускники Кингз-Колледжа, иногда их любопытство вознаграждалось и у камина появлялся плюшевый мишка Порги, которого Алан усаживал перед раскрытой книгой, подпертой линейкой, приговаривая: «Порги этим утром особенно прилежен».

Избрание в члены Совета совпало с тем, что сам Алан назвал своим «открытием мелкого масштаба», хотя это была его первая работа, принятая на публикацию. Она представляла собой вполне точный результат исследования теории групп, и уже 4 апреля Алан сообщил о нем Филипу Холлу (чья научная деятельность также касалась этой области), при этом заметив, что «подумывает заняться более серьезным исследованием в этой области». Вскоре работа была представлена Лондонскому математическому обществу и опубликована позднее в том же месяце.