Vx, Vу' zl2 /\ Ryz).
Напомним, что у означает «для всех», £f — «существует такой..., что», х, у — переменные одного рода, z — другого рода; R — отношение. Все вместе можно прочесть приблизительно так: «Для всякого объекта х и для всякого объекта у существует такой объект z, что отношение R имеет место как между х и z, так и между у и г».
Если мы заменим переменные х и у термином «точка», а переменную z — «прямой линией», отношение
R — термином «провести через», то эту формулу можно прочесть: «Через любые две точки можно провести прямую линию». Так вот, Гильберт отметил, что если в этой формуле заменить термин «точка» термином «пивная кружка», термин «прямая линия» — термином «стол», а отношение «провести через...» — отношением «стоять на...», то получится столь же строгое непротиворечивое положение: «Любые две кружки стоят на столе». Совершив такие же замены в остальных аксиомах, можно было бы вывести из них систему теорем, раскрывающих разные отношения и различные свойства кружек, столов и т.п. Как замечает А.И. Ракитин, «содержание такой «геометрии» могло бы совершенно не соответствовать действительности, но отказать ей в теоретическом смысле было бы нельзя».
Отсюда виден смысл формальной структуры, т.е. что она отражает. Она отображает определенную возможную конструкцию некоторого отрезка реальности. Возможность означает здесь соответствие этого отрезка реальности общей конструкции мира, закрепленной в использованной логике.
Отсюда же видно, в чем заключается следующий шаг возвращения к реальности, от которой отвлечена (и вместе с тем извлечена) данная формальная система. Это — подстановка вместо переменных и операторов определенных терминов.
Термины, как мы знаем, обозначают понятия. Таким образом, подстановка определенных терминов вместо переменных и операторов означает отношение данной формальной схемы к определенным классам объектов и отношений. Такую операцию называют интерпретацией формальной модели на определенном множестве объектов и отношений.
Например, отношения, установленные выше для формальной модели языка, могут интерпретироваться так: переменные — слова и фразы; следование — расстановка слов в фразе; управление — грамматическая зависимость одного слова от другого (типа «видеть друга», «встречаться с другом») и т.д.
Интерпретация, по-существу, представляет гипотезу, что закономерности и отношения данного отрезка действительности подчиняются тем общим связям, которые закреплены в формальной схеме.
Из примеров видно, что интерпретация заключается в подстановке на место переменных и операторов терминов определенной научной теории (геометрии, лингвистики, химии, физики и т.д.).
Поэтому интерпретация дает систему связей между понятиями и высказываний, т.е. дает уже определенную содержательную теорию. В одном из наших примеров — теорию пространственных отношений, геометрию; в другом — языковых отношений, лингвистику и т.д. Это — теоретическая интерпретация.
Далее, утверждения полученной теории могут быть наполнены эмпирическим значением, т.е. соотнесены с данными эксперимента и наблюдения и т.д. (эмпирическая интерпретация). Но это все мы уже знаем. Эти ступени мы уже прошли, и как там все происходит, примерно себе представляем.
Таким образом, на рассматриваемой ступени абстракция и идеализация принимают характер формализации, т.е. отвлечения от всяких объектов вообще. Обобщение становится обобщением отношений и принимает форму конструирования формальных объектов через сочетание операций (отношений). Соответственно, анализ принимает формальный характер различения знаков, а синтез — их связывания в системы, т.е. выступают как вычленение исходных аксиом и дедуктивное построение структуры.
Характерная черта научного познания на сегодняшнем этапе его развития — это переход к ступени структурного отражения средствами формального мышления. Такой путь прошла к сегодняшнему дню математика, завершив осознание своей собственной структуры в математической логике. Решительно движется по этому пути языкознание в форме структурной и математической лингвистики. Здесь же можно назвать некоторые отделы математической физики, математической биологии, кибернетики и др. Даже психология, как мы видели на примере Пиаже, начинает нащупывать этот путь. Все это — не просто очередное дальнейшее развитие различных отраслей науки. Это — скачок человеческого познания к новым формам отражения реальности и новым способам мышления.
Между прочим, все вы заметили, наверное, какую-то особую затрудненность, которая возникает при попытке понимания и описания данной ступени мышления. И в этом нет ничего удивительного. По отношению к структурному отражению мира мы находимся сейчас примерно в том положении, в каком современники Сократа находились по отношению к понятийному. Формальное мышление только формируется сейчас в недрах науки, как теоретическое мышление лишь начинало складываться при Сократе в рамках философии.
Но уже сейчас этот способ отражения реальности и переработки информации о ней обещает подъем на новую ступень всего нашего познания и понимания действительности. В формальном мышлении человек получает орудие для отображения структуры своих научных теорий и тем самым для познания того устройства действительности, которое воплощается в системах научных понятий. Формальное мышление освобождает от необходимости опираться на смутные чувства достоверности, убедительности, интуитивной очевидности и т.д. Оно заменяет смутное движение «идей» в голове физическим оперированием символами по определенным строгим правилам.
Это открывает возможности для передачи электронным вычислительным машинам многих видов переработки информации, которые ранее считались суверенным царством абстрактного мышления. Если теоретическое мышление выступало как «психическая машина» для порождения идеальных моделей реальности, то формальное мышление выступает как знаковая машина, изготовляющая модели таких «психических машин», т.е. модели систем теоретического мышления.
Начав с нескольких общих отношений, операций, аксиом и правил вывода, формальное мышление, ставя их во все новые и новые всевозможные отношения друг к другу, может строить бесконечную систему теорем и выводов. Причем, этой системе теорем и выводов отвечает в свою очередь бесчисленное множество теоретических интерпретаций, т.е. систем законов реальности.
Неудивительно, что мощь этой новой формы мышления показалась вначале безграничной. Два столетия тому назад так же безграничны казались возможности понятийного мышления. Тогда Лагранж выражал гордую уверенность, что полная картина устройства вселенной сможет быть построена из абстрактных понятий ньютоновой механики и, следовательно, понята, объяснена и предсказана во всем ее прошлом, настоящем и будущем, вплоть до движения каждого отдельного атома. В начале двадцатого века такие же надежды вызвало бурное развитие формального мышления. Теперь ожидали, что полная картина устройства вселенной (включая само мышление человека) сможет быть построена из формальных структур математики.
Но в 30-х годах над этими ожиданиями прогремел гром великой теоремы Геделя. Проанализировав структуру самого формального мышления, Гедель доказал, что в любой достаточно сложной формальной системе всегда могут быть сформулированы истинные положения, которые не могут быть выведены (т.е. доказаны) в рамках этой системы (т.е. на основе ее исходных аксиом и правил выведения). Иначе говоря, структурное отражение реальности по самой своей природе всегда неполно. Какой бы набор аксиом мы ни принимали, какую бы разветвленную формальную систему ни строили, они никогда не исчерпают богатства тех отношений и форм связи, которыми располагает реальность. Любая знаковая структура, построенная формальным мышлением, является и всегда будет лишь неполным отражением, лишь частичной моделью подлинной структуры реальности.
Итак, промоделировав само себя, мышление обнаружило, что его возможности всегда ограничены. Снова открылась неисчерпаемая глубина ленинской мысли о том, что «человек не может охватить — отразить — отобразить природы всей, полностью, ее «непосредственной цельности», он может лишь вечно приближаться к этому, создавая абстракции, понятия, законы, научную картину мира и т.д. и т.п.» (Философские тетради, стр. 157).
