Для обозначения десятки наряду с десятью штрихами применялся и особый знак — полукруг. Цифра 12 изображалась на печатях сочетанием полукруга и двух штрихов; 20, 30, 70 — повторением знака для десятки — полукруга — 2, 3 и 7 раз вертикально. Способы обозначения чисел с помощью горизонтальных и вертикальных штрихов сохранились в позднейших числовых системах Индии.
При выполнении арифметических операций использовался специальный счетный прибор — возможный прародитель абака, широко применявшегося в эллинистической и средневековой европейской математике. В Мохенджо-Даро был найден кирпич с тремя рядами вырезанных на нем прямоугольников, по четыре в каждом ряду; одна из клеток на этом кирпиче отмечена перекрестными линиями. Обнаружен также кирпич с отбитым концом, на одной стороне которого выдолблено четыре ряда углублений. В Лотхале была найдена кирпичная доска квадратной формы; каждая сторона ее была разделена на пять прямоугольников. Вероятно, эти кирпичи служили счетными приборами при выполнении простейших арифметических операций. Не исключено, что для того же. судя по раскопкам, применялись камешки или бобы.
Жители Хараппских поселений играли в кости. В Лотхале открыты игральные кости кубической формы из терракоты, на которых ямочками обозначались цифры: 1 против 2; 3 против 4; 5 против 6. Было другое расположение цифр: 1 против 6; 2 против 5; 3 против 4. При таком расположении сумма двух противоположных сторон равнялась 7.
Эта игра была широко распространена и позднее. В «Махабхарате» царевич Пандава говорит, что при игре в кости он потерял все, включая царство. В «Ригведе» упоминается сорт дерева, из которого изготовляли игральные кости.
Археологи обнаружили множество каменных гирь, применявшихся при торговых операциях. Соотношения между ними — 2, 4, б, 8, 16, 32, 64, 120, т. е. система гирь основывалась на удвоении или, иначе говоря, система весов представляла собой геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Для небольших весов она строилась по принципу утроения. Гири из Лотхала имели форму усеченного шара. Между ними существовало соотношение 7/2, 7, 14, 28, т. е. данная система тоже составляла геометрическую прогрессию со знаменателем 2 и первым членом 7/2.
Следует отметить, что цитадели в Мохенджо-Даро, Хараппе, Лотхале и других городах в плане представляют прямоугольник и равнобедренную трапецию; есть основания полагать, что эти цитадели строились по заранее расчерченной схеме. При раскопках найдено множество разнообразных предметов, имеющих правильную геометрическую форму. При вычерчивании окружностей, видимо, использовался специальный инструмент, аналогичный современному циркулю. Для изготовления одинаковых по форме, но различных по величине предметов нужно было знать основы подобия — элементарные, чаще всего полученные эмпирическим путем, а также сведения о центре подобия и коэффициенте пропорциональности. Большое количество обнаруженных предметов представляли собой прекрасные образцы осевой симметрии.
Необходимо было решать ряд задач на построение и преобразования: построение прямой, кривой, замкнутой, ломаной линий; прямого угла и перпендикуляра; квадрата, четырехугольника, окружности, многоугольника; куба, параллелепипеда; деление отрезка пополам и на равные части, круга пополам и на четыре равные части, сферы пополам; построение сектора и сегмента круга; концентрических окружностей; параллельных линий.
Огромный интерес представили раскопки в Лотхале — крупном портовом городе. Здесь был построен искусственный док для стоянки судов, они заходили сюда из Египта и Месопотамии. По своим техническим характеристикам док в Лотхале превосходил более поздние финикийские и римские доки. Средние размеры его составляли 21х36 м, максимальная глубина — 4,15 м; он был окружен кирпичными стенами шириной от 1,04 до 1,78 м. Суда входили в док через 12-метровые ворота. Водный шлюз при постоянных приливах и отливах регулировал поступление воды в док, что позволяло не прекращать судоходство доже при отливе. Все это требовало немалых познаний в математике, вычислительной технике, строительной механике. Не исключено, что при сооружении более поздних по времени доков, которые повторяли некоторые черты Лотхальского, вместе со строительными приемами были заимствованы и математические методы.
В ходе исследований протоиндийских материалов — объектов с надписями, изображениями и символами — появилась возможность более точно судить об астрономических познаниях жителей Хараппских поселений, а также составить представление, хотя и неполное, о календаре и хронологии. Протоиндийский год делился на два полугодия между зимним и летним солнцестоянием. Вместе с тем его подразделяли на шесть сезонов — каждый из двух месяцев, или четырех полумесяцев. Наряду с месяцем в качестве единицы времени существовали и полумесяцы, в зависимости от фаз луны — новолуния и полнолуния. Выделялись периоды равноденствия. О большой преемственности между Хараппской цивилизацией и позднейшими культурами Индостана говорит тот факт, что деление года на два полугодия между периодами равноденствия сохранилось в позднейшей традиции. Есть основания полагать, что система «лунных стоянок» — накшатр, хорошо известная в ведийский период, частично была известна уже в Хараппскую эпоху.
Тогда использовался цикл, состоявший из пяти 12-летних периодов. Принятие пятилетнего цикла свидетельствует о том, что продолжительность солнечного года считалась равной 360 дням; лунный год определялся в 354 дня и охватывал 12 лунных месяцев. При этом за пять лет разница между солнечным и лунным календарями равнялась приблизительно 30 дням, когда повторялась та же фаза Луны, что и пять лет до того. Широкое распространение получил и 12-летний цикл, учитывающий соотнесенность движения Солнца и Юпитера. Объединение обоих циклов позволило ввести 60-летний период, основанный на согласовании движения Солнца, Луны и Юпитера.
В Мохенджо-Даро были открыты каменные астрономические обсерватории, где, очевидно, жрецы вели свои наблюдения. До нас дошли сделанные из камня цилиндрические кольца, на которых имеются углубления. Вероятно, с помощью таких «календарных колец» выполнялись простейшие астрономические наблюдения, удовлетворявшие требования повседневной практики.
Последующие сведения о математических знаниях индийцев относятся к эпохе вед. Один из разделов ведийской литературы под названием шульва-сутры включает трактаты, связанные с правилами измерений и построений различных жертвенных алтарей. Шульва-сутры (или «правила веревки») сохранились в четырех редакциях — Баудхаяны, Манавы, Апастамбы, Катьяяны.
Широкое распространение в период вед получила десятичная система нумерации, известная еще в эпоху Хараппской цивилизации, была разработана специальная терминология для больших степеней десяти, вплоть до 1053. Эти наименования образовывались с помощью принципов сложения, вычитания, умножения — именно тех принципов, которые позднее стали необходимыми компонентами при создании десятичной позиционной системы счисления. Определения и правила выполнения четырех арифметических действий в ведийской литературе не встречаются, хотя приводятся многочисленные примеры этих операций.
В ведийский период сложились основы арифметики, алгебры, теории чисел, геометрии. Санскритское название арифметики — вьяктаганита — «искусство вычисления с известными величинами». Иногда выполнение вычислений именовали дхуликарма — «работа с пылью», поскольку вычисления производились на счетной доске, покрытой песком или пылью, а то и прямо на земле. Числа писали заостренной палочкой; при выполнении арифметических действий легко было стирать одни результаты и на их месте записывать новые.
Санскритское название алгебры — авьяктаганита — означало «искусство вычисления с неизвестными величинами», а также биджаганита — «основы искусства вычисления», или «искусство вычисления с элементами». Зачатки индийской алгебры можно найти в шульва-сутрах, но она в основном была выражена в геометрической форме — той, которая позднее получила блестящее развитие в греческой науке. Так, геометрический метод преобразования квадрата в прямоугольник, одна из сторон которого задана, эквивалентен решению линейного уравнения с одним неизвестным: ахЧ).
