Напомним, что Киллинг организовал почти все простые группы Ли в четыре бесконечных семейства, два из которых составляют на самом деле две части одного большего семейства специальных ортогональных групп SO(n) в четных и нечетных размерностях. Два другие семейства — это специальные унитарные группы SU(n) и симплектические группы Sp(2n).

Теперь мы знаем, что все эти семейства представляют собой вариации на одну и ту же тему. Они состоят из всех n×n-матриц, удовлетворяющих некоторому конкретному алгебраическому условию — они «косо-эрмитовы»[119]. Единственное различие состоит в том, что для получения ортогональных алгебр Ли надо использовать матрицы из вещественных чисел, для получения унитарных алгебр Ли — матрицы из комплексных чисел, а для получения симплектических алгебр Ли — матрицы из кватернионов. Эти алгебры образуют бесконечные семейства, потому что матрицы могут иметь какой угодно размер. Чудесно видеть, что алгебры Ли, соответствующие естественным преобразованиям в гамильтоновом описании механики — первом великом открытии Гамильтона, — допускают естественное описание в терминах кватернионов — его последнего великого открытия.

Но теперь самое время задуматься, а что же происходит, если в качестве матричных элементов используются октонионы. К сожалению, из-за отсутствия ассоциативности не удается получить новое бесконечное семейство простых алгебр Ли. На самом деле лучше бы сказать «к счастью», поскольку мы ведь знаем, что такого семейства не существует. Но если играть с октонионами в правильные игры, да еще заручиться поддержкой закона малых чисел, можно получить самые настоящие алгебры Ли.

Первый намек на то, что так может случиться, появился в 1914 году, когда Эли Картан ответил на очевидный вопрос и получил удивительный ответ. Руководящий принцип в математике и физике состоит в том, что если имеется некоторый интересный объект, то первое, что про него надо спросить, — это какова его группа симметрии. Группа симметрии системы вещественных чисел тривиальна и состоит только из одного тождественного преобразования — преобразования «не делаем ничего». Группа симметрии системы комплексных чисел содержит тождественный элемент и одну зеркальную симметрию, которая преобразует i в −i. Группой симметрии кватернионов является SU(2), которая почти совпадаете группой вращений SO(3) в трехмерном вещественном пространстве.

Вопрос, который задал Картан, — это «Какова группа симметрии октонионов?». Если вы — некий Картан, то ответ на этот вопрос вам известен. Группой симметрии октонионов является наименьшая из исключительных простых групп Ли — та, которая известна под именем G₂. 8-мерная система октонионов имеет 14-мерную группу симметрии. Исключительная нормированная алгебра с делением непосредственно связана с первой из исключительных групп Ли.

Чтобы двигаться дальше, нам надо подружиться с одной идеей, восходящей к эпохе Возрождения — но только не к математикам, а к художникам того времени.

В те дни математика и искусства были довольно близки друг к другу — не только в архитектуре, но и в живописи. Художники времен Возрождения открыли, как применить геометрию к перспективе. Они нашли геометрические правила для изображения на бумаге таким образом, чтобы объекты и пейзажи выглядели как трехмерные. При этом они изобрели новый и удивительно красивый вид геометрии.

Работы более ранних художников часто не выглядят, на наш взгляд, реалистичными. Даже такой художник, как Джотто (Амброджио Бондоне), мог создавать работы почти фотографического качества, но при более внимательном рассмотрении оказывалось, что перспектива в них не совсем последовательна. Лишь Филиппо Брунелески в 1425 году сформулировал последовательный математический метод получения точной перспективы и передал свое знание другим художникам. В 1435 году вышла первая книга по данному предмету — Delia Pittura Леоне Альберти.

Метод был доведен до совершенства в живописи Пьеро делла Франческа, который был также замечательным математиком. Пьеро написал три книги по математике перспективы. И нельзя не упомянуть Леонардо да Винчи, книга которого Trattato della Pittura начинается с утверждения «Пусть никто, не являющийся математиком, не читает мои работы», что перекликалось с лозунгом «Да не войдет сюда ни один не знающий геометрии», который, согласно легенде, помещался над входом в Платоновскую Академию в Древней Греции.

Суть перспективы состоит в понятии «проекции», согласно которой трехмерный пейзаж переносится на плоский лист бумаги таким способом, что (в идеале) каждая точка пейзажа соединяется с глазом наблюдателя, после чего надо определить, где эта линия пересекает лист бумаги. Ключевая идея состоит в том, что проекции искажают формы некоторыми способами, которых не допускает Эвклид. В частности, проекция может превратить параллельные линии в пересекающиеся.

Мы наблюдаем такой эффект каждый день. Стоя на мосту и глядя на длинную прямую полосу уходящей вдаль железной дороги или автотрассы, мы видим, что прямые линии сходятся и, как кажется, пересекаются на горизонте. В действительности прямые остаются на одном и том же расстоянии друг от друга, но из-за перспективы воспринимаемое нами расстояние уменьшается по мере того, как прямая уходит от нас. В математической идеализации бесконечно длинные параллельные прямые на плоскости также пересекаются, если их подходящим образом спроектировать. Но место, где они пересекаются, не является образом какой бы то ни было точки в плоскости — оно и не может им быть, поскольку на плоскости прямые не пересекаются. Это кажущийся «горизонт», в направлении к которому продолжаются прямые и плоскость. С точки зрения самой плоскости горизонт бесконечно удален, но его проекция — полностью осмысленная прямая, проходящая через середину картины.

Эта прямая известна как «прямая в бесконечности». Как и квадратный корень из минус единицы, это фикция, но исключительно полезная фикция. Возникающая таким образом геометрия называется проективной геометрией, и, в духе эрлангенской программы Клейна, это геометрия свойств, которые не меняются при проекциях. Проективную геометрию использует каждый художник, который рисует изображения с перспективой, с линией горизонта и с «точкой схода», для того чтобы изображаемые объекты выглядели как реальные.

Геометрия проективной плоскости исключительно изящна. Через любые две точки можно провести единственную прямую, равно как в эвклидовой геометрии. Но, кроме того, любые две различные прямые пересекаются, причем ровно в одной точке. Параллельных, которые так занимали Эвклида, не существует.

Если это напоминает вам плоскость Фано, то вы совершенно правы. Плоскость Фано — это конечная проективная геометрия.

От перспективы Возрождения до исключительных групп Ли остается теперь только небольшой шаг. Проективная плоскость, которая неявно присутствовала в методах Альберти, явно возникла в новой геометрии. В 1636 году Жирар Дезарг — армейский офицер, позднее ставший архитектором и инженером — опубликовал «Предполагаемый набросок попытки рассматривать результаты пересечения плоскости конусом». Звучит это как название книги о конических сечениях, и книга таковой и была, но вместо использования традиционной греческой геометрии Дезарг использовал проективные методы. В точности как эвклидову геометрию можно превратить в алгебру, используя декартовы координаты (x, y) — пару вещественных чисел, — так и проективную геометрию оказалось возможным превратить в алгебру, если разрешить буквам x или y принимать бесконечное значение (ситуация хитрым способом ставится под контроль таким образом: рассматриваются отношения трех координат и считается, что 1 : 0 = бесконечность).