Окружности имеют, кроме того, бесконечно много осей отражательной симметрии. Если отразить окружность относительно любого диаметра, то получится та же самая окружность. Добавление отражений приводит к большей группе O(2).

Группы SO(2) и O(2) бесконечны, но это некоторый ручной вид бесконечности. Различные вращения можно задавать, указывая одно число — угол вращения. Когда два вращения выполняются одно за другим, соответствующие углы просто складываются. Ли назвал поведение такого типа «непрерывным», и в его терминологии SO(2) — непрерывная группа. А из-за того, что для указания угла требуется только одно число, группа SO(2) одномерна. То же имеет место и для O(2), поэтому все, что нам требуется, — это некоторый способ отличать отражения от вращений, а с этой задачей в алгебре справляются знаки плюс и минус.

Группа SO(2) представляет собой простейший пример группы Ли. Группа Ли соединяет в себе структуры двух типов: это и группа, и одновременно многообразие — некоторое многомерное пространство. В случае SO(2) многообразием является окружность, а групповая операция на двух точках окружности сводится к сложению соответствующих углов.

Ли открыл прекрасное свойство групп Ли: групповую структуру можно «линеаризовать». Это означает, что лежащее в основе группы искривленное многообразие можно заменить плоским эвклидовым пространством. Это касательное к многообразию пространство. Как это выглядит для SO(2), показано на рисунке.

Когда групповая структура линеаризована подобным образом, на касательном пространстве возникает своя собственная алгебраическая структура, которая представляет собой некую «инфинитезимальную» версию групповой структуры и описывает, как ведут себя преобразования, очень близкие к тождественному. То, что получается, называется алгеброй Ли данной группы. У нее такая же размерность, как и у группы, но ее геометрия значительно упрощается, становясь плоской.

Разумеется, за эту простоту приходится кое-чем заплатить: алгебра Ли ухватывает многие важные свойства соответствующей группы, но некоторые тонкие детали ускользают. А те свойства, которые не теряются, подвергаются тонким изменениям. Тем не менее массу всего о группе Ли можно узнать, переходя к ее алгебре Ли, и на большую часть вопросов легче ответить в формализме алгебр Ли.

Оказывается — и в этом и состояло одно из великих усмотрений, сделанных Ли, — что естественная алгебраическая операция на алгебре Ли дается не произведением AB, а разностью AB − BA, называемой коммутатором. Для таких групп, как SO(2), где AB = BA, коммутатор равен нулю. Но для таких групп, как SO(3) — группы вращений в трехмерном пространстве, — выражение AB − BA не равняется нулю, за исключением того случая, когда A и B или совпадают, или являются вращениями на прямой угол[46]. Таким образом, геометрия групп проявляет себя в поведении коммутаторов.

В начале 1900-х годов, с рождением теории «дифференциальных полей», была наконец реализована мечта Ли о некоей «теории Галуа» дифференциальных уравнений. Но теория групп Ли оказалась намного более важной, чем ожидал он сам, и у нее возникли более широкие приложения. Теория групп Ли и алгебр Ли оказалась не просто средством для выяснения вопроса о том, какие дифференциальные уравнения можно решить конкретными способами, — она проникла практически во все области математики. Теория Ли вырвалась из-под власти своего создателя и стала могущественней, чем он мог вообразить.

При взгляде из дня сегодняшнего видно, что все дело в симметрии. Симметрия глубоко встроена в каждую область математики, и на ней базируется большинство основных идей математической физики. Симметрии выражают фундаментальную регулярность нашего мира, а это то, что двигает вперед физику. Непрерывные симметрии, такие как вращения, тесно связаны с природой пространства, времени и материи; из них вытекают различные законы сохранения, такие как закон сохранения энергии, который утверждает, что замкнутая система не может ни потерять, ни приобрести энергию. Эта связь была разработана Эмми Нетер, ученицей Гильберта[47].

Следующий шаг, разумеется, должен был состоять в том, чтобы разобраться с возможными группами Ли, подобно тому как Галуа и его последователи навели порядок со многими свойствами конечных групп. Здесь к охоте присоединяется второй математик.

Анна Катарина переживала за своего сына.

Врач считал, что маленький Вильгельм «сильно ослаблен и, кроме того, очень застенчив», «постоянно возбужден», но при этом он «совершенно непрактичный книжный червь». Здоровье Вильгельма улучшалось по мере взросления, но склонность быть книжным червем не убывала. Накануне своего 39-летия он опубликовал математическое исследование, обоснованные отзывы о котором говорят, что это «величайшая математическая работа всех времен». Такие утверждения, конечно, субъективны, однако работа, без сомнения, достойна высочайшего места во всяком подобном списке.

Вильгельм Карл Йозеф Киллинг был сыном Йозефа Киллинга и Анны Катарины Кортенбах. У него были брат Карл и сестра Хедвиг. Йозеф-старший был служащим в юридической конторе а Анна — дочерью аптекаря. Обвенчались они в Бурбахе, в восточной части центральной Германии, и вскорости переехали в Медебах, где Йозеф-старший стал мэром. После этого он стал мэром Винтенберга, а еще позднее — мэром Рутена.

Семейство было хорошо обеспечено и могло позволить себе нанять частного преподавателя для подготовки Вильгельма к гимназии. Родители выбрали для сына гимназию в Брилоне, в 50 милях от Дортмунда. В школе Вильгельму нравилось заниматься классическими языками — латынью, древнееврейским, греческим. Учитель по фамилии Харнишмахер познакомил его с математикой; Вильгельм проявил большие способности к геометрии и решил стать математиком. Он поступил в то, что теперь носит имя Вестфальский Университет Вильгельма в Мюнстере, а тогда называлось просто Королевской Академией[48]. В Академии не преподавали продвинутую математику, так что Киллинг учился сам. Он прочел геометрические работы Плюккера и попытался самостоятельно вывести некоторые новые теоремы. Кроме того, он читал Disquisitiones Arithmeticae Гаусса.

После двух курсов Королевский Академии он переехал в Берлин, где уровень математического образования был намного выше. Там на него повлияли Вейерштрасс, Куммер, а также Герман фон Гельмгольц — математический физик, прояснивший связь между сохранением энергии и симметрией. Киллинг защитил диссертацию по геометрии поверхностей, основываясь на некоторых идеях Вейерштрасса, и начал преподавать математику и физику, а заодно понемногу греческий и латынь.

В 1875 году он женился на дочери преподавателя музыки Анне Коммер. Первые двое их детей — оба мальчики — умерли в младенчестве; следующие двое — дочери Мария и Анка — росли и благоденствовали. Позднее Киллинг стал отцом еще двух сыновей.

К 1878 году он вернулся в свою старую школу, но на этот раз в качестве учителя. У него была большая нагрузка — около 36 учебных часов в неделю, но каким-то образом он находил время продолжать математические штудии (самым великим такое всегда удается). Он опубликовал ряд важных статей в ведущих журналах.

В 1882 году Вейерштрасс обеспечил для Киллинга должность профессора в Лицее Хозианум в Браунсберге, где Киллинг и провел последующие десять лет. В Браунсберге не было значительной математической традиции и не с кем было обсуждать свои исследования, но Киллингу, по-видимому, такие стимулы и не требовались. Ибо именно там он сделал одно из наиболее важных открытий во всей математике, принесшее ему изрядную долю разочарования.