Линделёф, записав аргумент дзета-функции в виде σ + ti, задался таким вопросом: пусть задана вещественная часть σ (это, кстати, строчная греческая буква сигма); что можно сказать о величине ζ(σ + ti), когда t (мнимая часть аргумента) изменяется от нуля до бесконечности? «Величина» здесь понимается в смысле модуля, который мы определили в главе 11.v; другими словами, это означает |ζ(σ + ti)| — расстояние от значения дзета-функции до точки нуль. Это вещественное число, так что для всякой заданной σ и аргумент t, и значение |ζ(σ + ti)| — вещественные числа. Следовательно, можно нарисовать график. На рисунках от П1 до П8 показаны графики для некоторых характерных значений σ; эти графики иллюстрируют суть дела лучше всяких слов.
Обратим внимание на нетривиальные нули дзета-функции на рисунке П5. Стоит обратить внимание и на оживление, которое по сравнению с остальными демонстрируют рисунки от П4 до П6. Все интересное, что может случиться с дзета-функцией, происходит в критической полосе.
Кроме того, отметим некоторые знакомые значения при t = 0: 1/2 на рисунке П4 (что отвечает ζ(0) = −1/2 на рисунке 9.3, поскольку, разумеется, |−1/2| есть просто 1/2); бесконечность на рисунке П6 (расходимость гармонического ряда, глава 1.iii); 1,644934… на рисунке П7 (решение базельской задачи, глава 5.i); и 1,202056… на рисунке П8 (число Апери, глава 5.vi). Нулевое значение функции при t = 0 на рисунке П2 есть вещественный, тривиальный нуль дзета-функции (глава 9.vi). То, что кажется нулями на рисунках П1 и П3, на самом деле нулями не является; реально принимаемые там значения при t = 0 слишком малы, чтобы их можно было заметить. (Они соответственно равны 0,0083333… и 0,0833333….).
ГЛ — это утверждение об Ο большом (см. главу 15.ii) для этих графиков. Просто посмотрев на них, можно предположить следующее.
• При σ = −1, −2 и −3 график выглядит так, как если бы он был Ο большое от некоторой ускоренно растущей функции от t, может быть, степенной типа t2 или t5, причем эти степени, по-видимому, делаются все больше по мере того, как σ движется на запад вдоль отрицательной вещественной оси.
• При σ = 2 и 3 дело выглядит так, как будто у нас Ο(1), или, другими словами, Ο(t0).
• В критической полосе, т.е. при σ = 0, 1/2 и 1, нелегко сказать, какое Ο большое могло бы подойти.
Могло бы так случиться, чтобы для любого значения σ существовало определенное число μ, для которого |ζ(σ + ti)| = Ο(tμ)? Так, чтобы μ = 0, когда σ больше 1, и чтобы μ было некоторым растущим положительным числом, когда σ уходит от нуля на запад. Вроде именно так дело и обстоит. Но что же происходит в критической полосе, когда а лежит между 0 и 1? И в частности, что происходит на критической прямой, когда σ = 1/2?
Ну что же, вот перед нами (рис. П9) все, что известно на момент написания книги. Для любого заданного значения σ действительно имеется число μ, для которого |ζ(σ + ti)| = Ο(tμ+ε) для произвольно малого ε. Это не вполне то же самое, что предполагалось в предыдущем абзаце, но если вы не заметили разницы, то это простительно. (Однако если вспомнить про ε, которое появлялось у нас в главе 15.iii, то станет понятно его значение здесь). Несомненно, это число μ является функцией от σ. Отсюда и взялась функция Линделёфа μ(σ) в строке 21. Она, конечно, не имеет никакого отношения к функции Мебиуса μ из главы 15 — еще один прискорбный случай перегрузки символов.
Рисунок П9. Функция Линделёфа.
Кроме того, математически точно известно следующее.
• Когда σ меньше или равна нулю, μ(σ) = 1/2 − σ.
• Когда σ больше или равна единице, μ(σ) = 0.
• В критической полосе (т.е. когда σ заключена между 0 и 1, не включая границ), μ(σ) < 1/2(1 − σ). Другими словами, функция μ лежит ниже штриховой линии на рисунке П9.
• Для всех значений σ функция μ(σ) выпукла вниз. Это означает, что если соединить любые две точки на ее графике прямой линией, то отсекаемая от графика функции дуга будет целиком лежать ниже (или на) полученной прямой. Это верно везде, включая и критическую полосу; отсюда следует, что для σ, заключенной между 0 и 1, функция μ(σ) должна быть положительной или равняться нулю. (Строка 27 в песне.)
• Из справедливости ГР следует и справедливость ГЛ (которую мы сформулируем прямо сейчас), но не наоборот. ГЛ — более слабый результат.
Это, повторюсь, предел нашего знания на данный момент. ГЛ, представленная на рисунке П10, утверждает, что μ(1/2) = 0, откуда легко следует, что μ(σ) = 1/2 − σ для всех значений от минус бесконечности до σ = 1/2 и μ = 0 для всех аргументов далее на восток — ср. строки 27 и 28 из песни. Это открытая гипотеза, до сих пор не доказанная. В действительности не известно ни одного значения μ(σ), когда σ лежит строго между 0 и 1. ГЛ — величайший вызов в теории дзета-функции после ГР; она оставалась предметом активных исследований, с тех пор как Линделёф высказал ее в 1908 году.
Рисунок П10. Гипотеза Линделёфа.
Строка 24. Можно доказать, что ГЛ эквивалентна утверждению, которое ограничивает число нулей дзета-функции вне критической прямой. Если ГР верна, то, конечно, таких нулей не должно быть вовсе. Но как уже отмечалось, из доказательства ГР последует и ГЛ.
Строка 31. «А ТРПЧ можно все улучшать» — т.е. получить наилучшее возможное выражение типа Ο большого для остаточного члена.
Строка 32. При обычном интегрировании, как мы определили его в главе 7.vii, интегрируют вдоль оси x, от некоторого числа a до какого-то большего числа b. При наличии комплексных переменных можно интегрировать вдоль некоторого контура — т.е. прямой или кривой линии — в комплексной плоскости, от некоторой точки на этом контуре до какой-нибудь другой точки. Обычно контур при этом надо выбирать: результат интегрирования может зависеть от того, по какому именно контуру происходит интегрирование.[220] Контурное интегрирование — одно из основных средств в аналитической теории чисел (и вообще в теории функций комплексной переменной). Для получения определенных результатов об остаточном члене надо интегрировать по контуру, который не проходит через нули дзета-функции.
Строка 33. «Вейль обратился к предмету…». В этих последних куплетах говорится об алгебраическом подходе, упоминавшемся в главе 17.iii, и о результате А. Вейля 1942 года.
Строка 34. «Используя более хитрую дзету» — другими словами, один из упоминавшихся в главе 17.iii аналогов дзета-функции, связанных с конечными полями.
Строка 35. Мы определили характеристику поля в главе 17.ii. Аналоги ГР были доказаны только для дзета-функций, связанных с полями ненулевой характеристики — т.е. характеристики, равной некоторому простому числу p.
Строка 36. «…теорема верна». Благодаря А. Вейлю известно, что аналоги ГР для этих специальных полей верны.
Строка 40. Слова «по модулю p» используются здесь в смысле арифметики циферблата из главы 6.viii; как отмечалось в главе 17.ii, здесь имеется связь с теорией полей.
