где ( t) – -коррелированный шум с интенсивностью D.

Более сложный вариант сети задается формулами типа:

Y _i =sgn ( W _{ij 1,… jr} x _i x _{j 1…} x _jr ).

Известно, что спектры сигналов, обрабатываемых биологическими системами, являются достаточно сложными (как правило апериодическими). В случае апериодического сигнала, не имеющего пиков в спектре, обычно используемые меры (коэффициент усиления, отношение сигнал/шум, распределение времен переходов) являются либо неприменимыми, либо неэффективными. Естественно, такой подход не совсем уместен в теории преподавания. Величины, характеризующие передачу шумового сигнала через систему, могут быть рассчитаны на основе взаимных корреляционных функций (или взаимных спектральных плотностей) между входом и выходом системы [9]. Если предположить, что входной сигнал s( t), действующий на систему, порождает случайный процесс на выходе x( t) и считать, что s( t) и x( t) являются стационарными случайными процессами, можно ввести взаимную корреляционную функцию процессов s( t) и x( t), которая определяется как

,

где – двумерная совместная плотность вероятности процессов s( t) и x( t). Взаимная спектральная плотность есть преобразование Фурье взаимной корреляционной функции:

.

Введём в рассмотрение функцию когерентности Г( ω), которую определим следующим стандартным образом:

.

Эта величина изменяется [0, 1] и характеризует степень когерентности процессов s( t), x( t) на частоте ω. Как известно, важнейшей характеристикой динамических систем является восприимчивость χ( ω, D), где D– интенсивность внутреннего шума. Предполагая далее достаточную слабость сигнала s( t) и, что s( t) есть гауссов стационарный случайный процесс, статистически независимый от внутреннего шума системы, статистические характеристики отклика системы на воздействие s( t) могут быть вычислены с помощью теории линейного отклика. Для взаимной спектральной плотности имеем

.

Спектральная плотность на выходе имеет вид:

,

где – спектральная плотность невозмущенной системы в отсутствие сигнала. В свете сказанного, функцию когерентности в приближении линейного отклика можно представить:

.

Легко понять, что функция когерентности всегда меньше 1 и зависит от интенсивности внутреннего шума D. Предварительные тесты работы обучающего процесса, связанного с усвоением материала по геометрии показывают, что когерентность входа и выхода может быть оптимальна при определённом уровне шума [10]. При увеличении времени корреляции сигнала когерентность входа и выхода увеличивается. Таким образом, в системе принципиально возможным оказывается реализация режима стохастического резонанса с высоким уровнем усвоения входной информации.

Литература

Neural Networks for Computing, Ed. J. Denker. – N-Y.: AIP Publ., 2000.

Neural Computers, Eds. R. Eckmiller, C. Malsburg. –- Berlin: Springer, 1998.

Нейроинформатика и ее приложения. Под ред. Горбаня А.Н. – Красноярск: Изд. КГТУ, 1995. – 229 с.

Glushkov A.V., Ambrosov S.V., Khetcelius O.Yu. Self-Leaning and thinking mashines approaches in modern education & science: Art-psychics and learning process results. –- OSEU, Odessa-2001.

McNamara B., Wiesenfeld K. Theory of stochastic resonance // Phys. Rev. A. – 1989. – Vol. 39. – P. 4854–4869.

Jung P. Threshold devices: Fractal noise and neural talk// Phys. Rev. E. – 1994. – Vol. 50. – P. 2513–2522.

Collins J., Chow C., Imhoff T. Aperiodic stochastic resonance in excitable systems // Phys. Rev. E. – 1995. – Vol. 52. – P. R3321–R3324.

Inchiosa M.E., Bulsara A.R. Non-linear dynamic elements with noisy sinusoidal forcing: Enhancing response via non-linear coupling // Phys. Rev. E. – 1995. – Vol. 52. – P. 327–339.

Gammaitoni L., Martinelli M., Pardi L. Observation of stochastic resonance in bistable electron-paramagnetic-resonance systems // Phys. Rev. Lett. – 1991. – Vol. 67. – P. 1799-1802.

Анищенко В.С., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер Л. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // УФН. – 1999. – Т. 169. – №1. – С. 7-38.

Амбросов С.В., Глушков А.В., Хецеліус О.Ю. Матеріали Всеукраїнської наук.-мет. конференції “Проблеми і шляхи удосконалення фундаменталізації і профілізації підготовки фахівців-випускників вищих технічних навчальних закладів”. – Київ, 2000.

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ОБРАТНЫМИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

В.А. Гришина

г. Одесса, Одесский национальный политехнический

университет

Многолетний опыт работы с абитуриентами показывает, что тема «Обратные тригонометрические функции» излагается в школе зачастую поверхностно, а решению примеров уделяется мало внимания. В то же время на вступительных экзаменах в вузы такие примеры встречаются часто и, как правило, вызывают большие затруднения у абитуриентов. Перед изложением данной темы полезно кратко напомнить, что такое обратная функция, какими свойствами она обладает. Особенно нужно подчеркнуть то, что обратная функция может быть построена только на участке монотонности прямой функции. Именно поэтому в определениях обратных тригонометрических функций выбраны соответствующие интервалы для множества значений функций.

В самом начале изложения темы важно обратить внимание учащихся на то, что для обратных тригонометрических функций областью определения является числовое множество, а множество значений – углы в радианной или градусной мере. Для лучшего усвоения этого факта полезно сразу после того, как даны определения обратных тригонометрических функций решить примеры типа: вычислить arcsin(-0,5), arccos 1, arctg 0 и т.п. Обычно, учащимся требуется некоторое время, чтобы уверенно отвечать на эти вопросы. Определенные затруднения вызывают, обычно, соотношения вида: arcsin(sin)=, если 2; 2 и т.д. Помогает справиться с этим решение примеров типа: вычислить arcsin(sin(73)), arccos(cos(-5)).

Графики и свойства обратных тригонометрических функций методически удобно рассматривать парами: y=arcsin xи y=arctg  x, а потом – y=arccos xи y=arcctg x, так как многие свойства у этих пар функций одинаковы или близки. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что специфика решения примеров с обратными тригонометрическими функциями такова, что потребует от них знания и использования свойств обратных тригонометрических функций, особенно таких, как область определения, множество значений, возрастание (убывание), интервалы знакопостоянства, четность (нечетность). Например, решим такой пример:

Вычислить arcsin + arcsin + arcsin .

Обычно, учащиеся, даже наиболее подготовленные, решают его неверно. Типичный путь решения такой:

находят sin(arcsin + arcsin + arcsin );

в ходе довольно громоздких вычислений получают, что

sin(arcsin + arcsin + arcsin )=1,

из чего учащийся сразу же делает вывод, что

arcsin + arcsin + arcsin =.

Но такое решение не может быть признано правильным, так как из того, что sin sin не следует, что = .

sin sin =(–1) ⁿ n, n Z.

Поэтому, чтобы найти (arcsin + arcsin + arcsin ), нужно оценить, в каком интервале лежит этот угол. Верное продолжение решения должно быть примерно таким: