 E _( ₀) =  {2 S _ ⁽²⁾+ 4 S _ ⁽⁴⁾- 2 S _ ⁽²⁾ S _ ⁽²⁾+

( k+1) [ S _ ^{(2 k + 2)}– S _ ^{(2 k )} S _ ^{(2 k )}]

Далі сумування по КВ імпульсу замінюється інтегруванням, оскільки результат не залежить від точки відліку, і нарешті, I _ ( k ₁,  k ₂,..., k _n ) є ( L+2 k+1)–кратній інтеграл по ( L+2 k) часовим змінним та частоті КВ. Інтеграл по КВ частоті має вигляд:

  d ₀ F( ₀)=  { n _j  ₀-  _{pj }- iq _j )} ^-1

{- n _s  ₀-  _{ps }- iq _s )} ^-1( ₀-  _{p }/ k) ^m d ₀.

( n, q(  0) – цілі числа; p _j , p _s – індекси віртуальних станів КС, по яким проводиться ) та подамо у виді суми внесків окремих полюсів:

  d ₀ F( ₀)=  i( ₀) _

 ₀= _{pj }- iq _j  / n _j

—  i( ₀)

 ₀=- _{ps }- iq _s / n _s

Вирази для моментів мають остаточний вигляд:

( p | k) = { D/k ( k+ 1)} [ E( p,  _{p }/ k) - E(,  _{p }/ k)],

 ₂= D ²/k

 ₃= {4D ³/ [ k( k+ 1)]} [ E( p,  _{p }/ k) - E(,  _{p }/ k)],

E( j, _{p }/ k)=0,5 _jpi V _pij [ +]

Чисельний розрахунок шуканих характеристик може бути проводиться на підставі обчислювального комплексу “Superstructure” [3–6].

Література

Glushkov A.V., Ivanov L.N. DC Strong-Field Stark-Effect: consistent quantum-mechanical approach // J. Phys.B: At. Mol. Opt. Phys. – 1993. – Vol. 26, N 16. – P. L379–L386.

Glushkov A.V., Ivanov L.N. Radiation Decay of Atomic States: atomic residue and qauge noninvariant contributions// Phys. Lett.A. – 1992. – Vol. 170, N1. – P. 33–37.

Glushkov A.V., Ambrosov S.V. etal, Resonances in Quantum Systems in strong external fields: Consistent Quantum Approach // J. Techn. Phys. – 1997. – Vol. 38, N 2. – P. 215-218.

Glushkov A.V., Prepelitsa G.P et al, QED Theory of Nonlinear Interaction of Complex Atomic Systems with Laser field. Multiphoton Resonances // J. Techn. Phys. – 1997. – Vol. 38, N2. – P. 219-224.

Malinovskaya S.V. S-matrix formalism in the calculation of oscillator strengths, radiation and autoionization widths for complex atoms and multicharged ions // Науковий вісник Ужгородського університету. Серія фіз.-мат. – 2000. – Т. 8, Ч. 2. – С. 387-391.

Glushkov A.V., Vitavetskaya L.A. Accurate QED perturbation theory calculation of the structure of heavy and superheavy elements atoms and multicharged ions with account of nuclear size effect and QED corrections // Науковий вісник Ужгородського університету. Серія фіз.-мат. – 2000. – Т. 8, Ч. 2. – С. 321-326.

НЕЙРОСЕТЕВОЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ И МЕТОДИКЕ

ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И ТЕСТИРОВАНИЕ

РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА

А.В. Глушков ¹, О.Ю. Хецелиус ¹, И.И. Шумлянский ²

¹г. Одесса, Одесский государственный экологический

университет

²г. Одесса, Одесская национальная академия связи

им. А.С. Попова

В современной теории и методике преподавания математики одной из ключевых проблем, на наш взгляд, является построение оптимальной, высоко эффективной модели обучающего процесса, приводящего в результате к подготовке высококвалифицированных специалистов с высоким уровнем как образовательного интеллекта, так и способностями не только анализировать, но и творчески созидать, включая возможности экспертных оценок. Одним из эффективных подходов к созданию оптимальных моделей обучающего процесса, на наш взгляд, следует считать нейросетевой. В последнее десятилетие наука о нейросетях получила значительное развитие (см. напр., [1–3]), причем долгое время основной акцент делался на изучение нейросетевых алгоритмов в технических динамических системах. Лишь в последние годы появились работы по развитию нейросетевого моделирования в социологии, политологии и др. гуманитарных дисциплинах. Цель нашей работы состоит в развитии нейросетевых моделей в теории и методике преподавания математики [4] и обеспечении на их основе оптимальной стратегии учебного процесса.

Ниже рассмотрен аспект моделирования обучающего процесса на основе системного, нейросетевого подхода с выяснением возможностей реализации резонансно-стохастического эффекта в обучении. В качестве полезной аналогии здесь уместно рассмотреть некоторые аспекты динамики нелинейных нейрокибернетических систем (см. [1–4]). В последние годы интерес к динамике нелинейных систем резко вырос в связи с открытием и экспериментальным подтверждением целой группы принципиально новых и достаточно парадоксальных эффектов (см. [4–8]). Речь идет, например, о том, что формально наличие источников шума в нелинейных динамических системах может индуцировать принципиально новые режимы функционирования, которые не могут быть реализованы в отсутствие шума. Причем, индуцируются более упорядоченные режимы, приводящие к образованию регулярных структур, увеличивающие степень когерентности, вызывающие рост усиления и увеличения отношения сигнал/шум и т.д. Среди указанных эффектов особое место занимает феномен стохастического резонанса [4–8]. Суть дела состоит в том, что отклик нелинейной системы на внешний сигнал при определенных условиях может заметно усиливаться с ростом интенсивности шума в системе. Нас интересует поиск условий в процессе обработки, скажем, математической информации, при которых процесс обучения или обработки будет наиболее эффективным и оптимальным. В качестве основополагающего модельного нейросетевого алгоритма можно использовать модифицированный [4] и в определенном смысле улучшенный известный алгоритм обучения с обратным распространением ошибок для многослойных нейрокибернетических систем [1–4]. При этом в отличие от стандартной технической нейросетевой модели состояния нейронов описываются уже не двумя значениями ±1, а принимают значения в интервале между 0 и 1. Для изучения возможности реализации режима стохастического резонанса в системе наглядно провести рассмотрение на примере нейронной сети вида [1,4]:

s _i ( t+ t)=sgn[ Kh( t) – ( t) –f _m (  t)],

h _i ( t) =J _ij ¹ s _j ( t).