Q18. Даже в такой простой системе, как арифметика Пеано, можно сформулировать теорему, интерпретация которой имеет следующий смысл:
«система Fобоснованна», а следовательно, «высказывание G( F) истинно».
Разве это не все, что нам нужно от теоремы Гёделя? Значит, теперь, полагая обоснованной какую угодно формальную систему F, мы вполне можем поверить и в истинность ее гёделевского высказывания — при условии, разумеется, что мы готовы принять арифметику Пеано, разве не так?
Подобную теорему {35} действительно можно сформулировать в рамках арифметики Пеано. Точнее (поскольку мы не можем в пределах какой бы то ни было формальной системы должным образом выразить понятие «обоснованности» или «истинности», как это следует из знаменитой теоремы Тарского), мы, в сущности, формулируем более сильный результат:
«система Fнепротиворечива», а следовательно, «высказывание G( F) истинно»,
либо иначе:
«система F ω-непротиворечива», а следовательно, «высказывание Ω( F) истинно».
Из этих высказываний следует вывод, необходимый для Q18, поскольку если система Fобоснованна, то она, разумеется, непротиворечива или омега-непротиворечива, в зависимости от обстоятельств. Понимая смыслприсутствующего здесь символизма, мы и в самом деле можем поверить в истинность высказывания G( F) на основании одной лишь веры в обоснованность системы F. Это, впрочем, мы уже приняли. Если понимать смысл, то действительно возможно перейти от Fк G( F). Сложности возникнут лишь в том случае, если нам вздумается исключить необходимость интерпретаций и сделать переход от Fк G( F) автоматическим. Будь это возможно, мы смогли бы автоматизировать общую процедуру «гёделизации» и создать алгоритмическое устройство, которое действительно будет содержать в себе все, что нам нужно от теоремы Гёделя. Однако такой возможности у нас нет — захоти мы добавить эту предполагаемую алгоритмическую процедуру в какую угодно формальную систему F, выбранную нами в качестве отправной, в результате просто-напросто получилась бы, по сути, некоторая новая формальная система F #, а ее гёделевское высказывание G( F #) оказалось бы уже за ее рамками. Таким образом, согласно теореме Гёделя, какой-тоаспект понимания всегда остается «за нами», независимо от того, какая доля его оказалась включена в формализованную или алгоритмическую процедуру. Это «гёделево понимание» требует постоянного соотнесения с действительным смыслом символов какой бы то ни было формальной системы, к которой применяется процедура Гёделя. В этом смысле ошибка Q18весьма похожа на ту, что мы обнаружили, комментируя возражение Q17. С невозможностью автоматизации процедуры гёделизации тесно связаны также рассуждения по поводу Q6и Q19.
В возражении Q18присутствует еще один аспект, который стоит рассмотреть. Представим себе, что у нас есть обоснованная формальная система H, содержащая арифметику Пеано. Теорема, о которой говорилось в Q18, окажется среди следствий системы H, а частным ее примером, применимым к конкретной системе F(т.е., собственно, H), будет теорема системы H. Таким образом, можно сформулировать один из выводов формальной системы H:
«система Hобоснованна», а следовательно, «высказывание G( H) истинно»;
или, точнее, скажем так:
«система Hнепротиворечива», а следовательно, «высказывание G( H) истинно».
Если говорить о реальном смысле этих утверждений, то из них, в сущности, следует, что высказывание G( H) также утверждается системой. А так как (что касается первого из двух вышеприведенных утверждений) истинность любогопроизводимого системой Hутверждения, во всяком случае, обусловлена допущением, что система Hобоснованна, то получается, что если система Hутверждает нечто, явно обусловленное ее собственной обоснованностью, то она вполне может утверждать это напрямую. (Из утверждения «если мне можно верить, то Xистинно» следует более простое утверждение, исходящее из того же источника: « Xистинно».) Однако в действительности обоснованная формальная система H не можетутверждать истинность высказывания G( H), что является следствием ее неспособности утверждать собственную обоснованность. Более того, как мы видим, она не может включать в себя и смысл символов, которыми оперирует. Те же факты годятся и для иллюстрации второго утверждения, причем в этом случае ко всему прочему добавляется и некоторая ирония: система Hне способна утверждать собственную непротиворечивость лишь в том случае, если она действительнонепротиворечива, если же формальная система непротиворечивой не является, то подобные ограничения ей неведомы. Противоречивая формальная система Hможет утверждать (в качестве «теоремы») вообще все, что она в состоянии сформулировать! Она вполне может, как выясняется, сформулировать и утверждение: «система М. непротиворечива». Формальная система (достаточно обширная) утверждает собственную непротиворечивость тогда и только тогда, когда она противоречива!
Q19. Почему бы нам просто не учредить процедуру многократного добавления высказывания G( F) к любой системе F, какой мы в данным момент пользуемся, и не позволить этой процедуре выполняться бесконечно?
Когда нам дана какая-либо конкретная формальная система F, достаточно обширная и полагаемая обоснованной, мы в состоянии понять, как добавить к ней высказывание G( F) в качестве новой аксиомы и получить тем самым новую систему F 1, которая также будет считаться обоснованной. (Для согласования обозначений в последующем изложении систему Fможно также обозначить через F 0.) Теперь мы можем добавить к системе F 1высказывание G( F 1), получив в результате новую систему F 2, также, предположительно, обоснованную. Повторив данную процедуру, т.е. добавив к системе F 2высказывание G( F 2), получим систему F 3и т.д. Приложив еще совсем немного усилий, мы непременно сообразим, как построить еще одну формальную систему F ω , аксиомы которой позволят нам включить в систему в качестве дополнительных аксиом для Fвсе бесконечное множество высказываний { G( F 0), G( F 1), G( F 2), G( F 3), …}. Очевидно, что система F ω также будет обоснованной. Этот процесс можно продолжить и дальше: к системе F ω добавляется высказывание G( F ω ), в результате чего получается система F ω+1, к которой затем добавляется высказывание G( F ω+1), что дает систему F ω+2, и т.д. Далее, как и в предыдущий раз, мы можем построить формальную систему F ω2(= F ω+ ω), включив в нее весь бесконечный набор соответствующих аксиом, каковая система опять-таки окажется очевидно обоснованной. Добавлением к ней высказывания G( F ω2), получим систему F ω2+1и т.д., а потом построим новую систему F ω3(= F ω2+ ω), включив в нее опять-таки бесконечное множество аксиом. Повторив всю вышеописанную процедуру, мы сможем получить формальную систему F ω4, после следующего повтора — систему F ω5и т.д. Еще чуть-чуть потрудиться, и мы обязательно увидим, как можно включить уже этомножество новых аксиом { G( F ω ), G( F ω2), G( F ω3), G( F ω4), …} в новую формальную систему F ω 2 (= F ωω ). Повторив всю процедуру, мы получим новую систему F ω 2+ ω 2, затем — систему F ω 2+ ω 2+ ω 2и т.д.; в конце концов, когда мы сообразим, как связать все этовместе (разумеется, и на этот раз не без некоторого напряжения умственных способностей), наши старания приведут нас к еще более всеобъемлющей системе F ω 3 , которая также должна быть обоснованной.
