D = a| α〉〈 α|+ b| β〉〈 β|.
Для трех нормированных состояний | α〉, | β〉, | γ〉 с соответствующими вероятностями a, b, cимеем
D = a| α〉〈 α|+ b| β〉〈 β| + c| γ〉〈 γ|,
и так далее. Из того, что вероятности всех альтернативных вариантов должны в сумме давать единицу, можно вывести важное свойство, справедливое для любой матрицы плотности:
Как же использовать матрицу плотности для вычисления вероятностей, результатов измерения? Рассмотрим сначала простой случай примитивного измерения. Спросим, находится ли система в физическом состоянии |ψ〉 ( ДА) или в ином состоянии, ортогональном |ψ〉 ( НЕТ). Само измерение представляет собой математический объект (так называемый проектор), очень похожий на матрицу плотности:
Вероятность pполучения ответа ДАопределяется из выражения
где произведение DE само представляет собой объект, подобный матрице плотности. Оно вычисляется с помощью несложных алгебраических правил, необходимо лишь соблюдать порядок «умножений». Например, для вышеприведенной двучленной суммы D = a| α〉〈 α|+ b| β〉〈 β| имеем
DE = ( a| α〉〈 α|+ b| β〉〈 β|) |ψ〉〈 ψ|= a| α〉〈 α|ψ〉〈 ψ|+ b| β〉〈 β| ψ〉〈 ψ|= ( a〈 α|ψ〉)| α〉〈 ψ|+ ( b〈 β| ψ〉)| β〉〈 ψ|.
Члены 〈 α|ψ〉 и 〈 β| ψ〉 могут «коммутировать» с другими выражениями, так как они представляют собой просто числа, порядок же таких «объектов», как | α〉 и 〈 ψ|необходимо тщательно соблюдать. Далее получаем (учитывая, что zz' = | z 2|, см. §5.8)
СЛЕД( DE ) = ( a〈 α|ψ〉)〈 ψ|α〉 + ( b〈 β| ψ〉)〈 ψ|β〉 = a|〈 α|ψ〉| 2+ b|〈 β| ψ〉| 2.
Напомню (см. §5.13), что величины |〈 α|ψ〉| 2и |〈 β| ψ〉| 2представляют собой квантовыевероятности соответствующих конечных состояний |α〉 и |β〉, тогда как aи bсуть классическиевклады в полную вероятность. Таким образом, в окончательном выражении квантовые и классические вероятности оказываются смешаны.
В случае более общего измерения типа «да/нет» рассуждение в целом не изменяется, только вместо определенного выше проектора «£» используется проектор более общего вида
E = |ψ〉〈 ψ|+ |φ〉〈 φ|+ … + |χ〉〈 χ|,
где |ψ〉, |φ〉, …, |χ〉 — взаимно ортогональные нормированные состояния, заполняющие пространство ДА-состояний в гильбертовом пространстве. Как мы видим, проекторы обладают общим свойством
Вероятность получения ответа ДАпри измерении, определяемом проектором E , системы с матрицей плотности D равна следу ( DE ) — в точности, как и в предыдущем примере.
Отметим важный факт: искомую вероятность можно вычислить, если нам всего-навсего известны матрица плотности и проектор, описывающий измерение. Нам не нужно знать, каким именно образом из индивидуальных состояний была составлена матрица плотности. Полная вероятность получается сама собой в виде соответствующей комбинации классических и квантовых вероятностей, а нам не приходится беспокоиться, какая ее часть откуда взялась.
Рассмотрим повнимательнее это любопытное переплетение классических и квантовых вероятностей в матрице плотности. Допустим, например, что у нас имеется частица со спином 1/2, и мы абсолютно не уверены, в каком спиновом состоянии (нормированном) она в данный момент пребывает — |↑〉 или |↓〉. Предположив, что соответствующие вероятности этих состояний равны 1/2 и 1/2, построим матрицу плотности
D = 1/2 |↑〉〈↑ |+ 1/2 |↓〉〈↓ |.
Простое вычисление показывает, что в точности такая же матрица плотности D получается в случае комбинации равных вероятностей (1/2 и 1/2) любых других ортогональных возможностей — скажем, состояний (нормированных) |→〉 и |←〉, где |→〉 = ( |↑〉 + |↓〉)/√2 = ( |↑〉 - |↓〉)/√2:
D = 1/2 |→〉〈→ |+ 1/2 |←〉〈← |.
Допустим, мы решили измерять спин частицы в направлении «вверх», т.е. соответствующий проектор имеет вид
Тогда для вероятности получения ответа ДА, согласно первому описанию, находим
СЛЕД( DE ) = 1/2 |〈↑ |↑〉| 2+ 1/2 |〈↓|↑〉| 2= 1/2 × 1 2+ 1/2 × 0 2= 1/2,
где мы полагаем 〈↑ |↑〉 = 1 и 〈↓|↑〉 = 0 (поскольку состояния нормированы и ортогональны). Согласно второму описанию, находим
СЛЕД( DE ) = 1/2 |〈→ |↑〉| 2+ 1/2 |〈←|↑〉| 2= 1/2 × (1/√2) 2+ 1/2 × (1/√2) 2= 1/4 + 1/4 = 1/2;
правое |→〉 и левое |←〉 состояния здесь не являются ни ортогональными, ни параллельными измеряемому состоянию |↑〉, т.е. на деле |〈→ |↑〉| = |〈←|↑〉| = 1/√2.
Хотя полученные вероятности оказываются одинаковыми (как, собственно, и должно быть, поскольку одинаковы матрицы плотности), физические интерпретации этих двух описаний совершенно различны. Мы согласны с тем, что физическая «реальность» любой ситуации описывается некоторымвполне определенным вектором состояния, однако существует классическая неопределенность в отношении того, каким окажется этот вектор в действительности. В первом предложенном описании атом находится либо в состоянии |↑〉, либо в состоянии |↓〉, и мы не знаем, в каком из двух. Во втором описании — либо в состоянии |→〉, либо в состоянии |←〉, и мы снова не знаем, в каком именно. Когда мы в первом случае выполняем измерение с целью выяснить, не находится ли атом в состоянии |↑〉, мы имеем дело с самыми обычными классическими вероятностями: вероятность того, что атом находится в состоянии |↑〉, совершенно очевидно равна 1/2, и больше тут говорить не о чем. Когда мы задаем тот же вопрос во втором случае, измерению подвергается уже комбинация вероятностей состояний |→〉 и |←〉, и каждое из них вносит в полную вероятность свой классический вклад 1/2 помноженный на свои же квантовомеханический вклад 1/2, что дает в итоге 1/4 + 1/4 = 1/2. Как можно видеть, матрица плотности ухитряется сосчитать нам верную вероятность вне зависимости оттого, какие классические и квантовомеханические доли эту вероятность, по нашему предположению, составляют.
Приведенный выше пример является в некотором роде особым, поскольку так называемые «собственные значения» матрицы плотности в этом случае оказываются вырожденными (в силу того, что обе классические вероятности здесь — 1/2 и 1/2 — одинаковы); именно эта «особость» и позволяет нам составить более одного описания в комбинациях вероятностей ортогональных альтернатив. Впрочем, для наших рассуждений это ограничение несущественно. (А упомянул я о нем исключительно для того, чтобы избежать упреков в невежестве со стороны возможно читающих эти строки специалистов.) Всегда можно представить, что комбинация вероятностей охватывает гораздо большее число состояний, нежели просто набор взаимно ортогональных альтернатив. Например, в вышеописанной ситуации мы вполне могли бы составить очень сложные вероятностные комбинации множества возможных различных направлений оси спина. Иначе говоря, существует огромное количество совершенно различных способов представить одну и ту же матрицу плотности в виде комбинации вероятностей альтернативных состояний, и это верно для любыхматриц плотности, а не только для тех, собственные значения которых вырожденны.
