АКСИОМА(греч. аСиЬца - принятое положение) — предложение, по какой-либо причине принимаемое в качестве исходного для каких-либо дальнейших рассуждений. Это общее понимание аксиомы всякий раз конкретизируется вместе с уточнением того, что понимается под предложением, причиной и под дальнейшими рассуждениями. Типичные примеры аксиом: 1) некоторое выражение символического языка исчисления, если под дальнейшими рассуждениями понимаются использующие его выводы в рамках данного исчисления. В этом случае причина принятия аксиом — само определение рассматриваемого исчисления. Здесь сомнения по поводу принятия аксиом бессмысленны;

67

АКСИОМА БЕСКОНЕЧНОСТИ 2) некоторая эмпирическая гипотеза, если под дальнейшими рассуждениями понимается, к примеру, систематически развиваемый на ее основе раздел физики. В этом случае причина принятия аксиомы — вера в закономерность природы, выражаемую данной гипотезой. Здесь сомнения по поводу принятия аксиомы не только осмысленны, но и желательны; 3) соглашение понимать термины, участвующие в формулировке некоторого суждения, как угодно, но все-таки таким образом, чтобы при этом понимании рассматриваемая формулировка выражала истинное суждение. Это тот случай, когда под дальнейшими рассуждениями понимается вывод заведомо истинных следствий из неоднозначно понимаемого исходного суждения. Здесь сомнения по поводу принятия аксиомы бессмысленны. Когда такого рода аксиому используют в рамках научной теории, ее часто называют постулатом значения; 4) утверждение, оцениваемое как необходимо истинное (аподиктическое), если под дальнейшими рассуждениями понимается какая-либо систематически развиваемая доктрина, претендующая на совершенство в эпистемологическом отношении (геометрия Евклида, метафизика Декарта, этика Спинозы, наукоучение Фихте, математика Гильберта и т. д.). В этом случае причина принятия аксиомы — свидетельство специальной познавательной способности (интуиции) к непосредственному усмотрению некоторых (называемых часто самоочевидными) истин. В рамках указанной претензии сомневаться в аксиомах абсурдно, но вопрос об оправданности самой этой претензии — одна из самых глубоких и открытых проблем философии. К. Ф. Самохвалов

АКСИОМА БЕСКОНЕЧНОСТИ- см. Множеств теория.

АКСИОМА ВЫБОРА— см. Множеств теория.

АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ- теория, организованная (построенная) согласно аксиоматическому методу. Первой такой теорией была эллинская геометрия («Начала» Евклида), заложившая традиции, которым следовали по существу два тысячелетия. Аксиологическая теория Евклида была содержательной — пространственная интуиция и логика выступали в ней на равных правах. Лишь в конце 19 в. эта традиция была нарушена (М. Пасш и Д. Гильберт). Хотя содержательной аксиоматике до сих пор стараются следовать в неформализованных теориях (напр., общая систематика А. А. Любищева), в математике перешли от содержательной аксиоматики к модельной и далее к формальной. В модельной аксиоматической теории свойства описываемых объектов выражаются на математическом языке с использованием некоторых стандартных математических понятий, напр. Понятия числа. Таковы, в частности, современные аксиоматические изложения механики, электродинамики (законы Максвелла) и теории относительности. В формальной аксиоматической системе точно определены и язык, и правила вывода, и аксиомы. В принципе такая система не содержит никаких внешних ссылок (в том числе на смысл изучаемых в ней объектов) и является исчислением, с которым можно оперировать чисто механически. Но необходимо помнить, что в математических науках принципиальная возможность всегда означает практическую невозможность либо нецелесообразность. Поэтому с формальной аксиоматикой всегда манипулируют на основе некоторой интерпретации, обращаясь с формальной системой как с модельной. В данном случае преимуществом формальной системы является возможность в любой момент опуститься на уровень формального манипулирования для перепроверки результатов. Еще одним преимуществом формальных аксиоматик является возможность нескольких разнородных классов моделей, позволяющих взаимно перепроверять полученные выводы, не опускаясь до чисто формального манипулирования. Таким свойством обладает, напр., интуиционистская логика. Н. Я. Непейвода

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД- метод построения теорий, в соответствии с которым разрешается пользоваться в доказательствах лишь аксиомами и ранее выведенными из них утверждениями. Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит к различению аксиом не только по их формулировкам, но и по их методологическим (прагматическим) статусам. Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов. Иногда это различие в статусах отражается в названиях аксиом (в современных аксиоматиках для эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют часто т. н. Постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а древние греки делили геометрические аксиомы на общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Вообще говоря, учет статусов аксиом обязателен, так как можно, например, изменить содержание аксиоматической теории, не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус, объявив, скажем, одну из них новым постулатом значения. Аксиоматический метод был впервые продемонстрирован Евклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы, постулата и определения рассматривались уже Аристотелем. В частности, к нему восходит толкование аксиом как необходимых общих начал доказательства. Понимание аксиом как истин самоочевидных сложилось позднее, став основным с появлением школьной логики Пор-Рояля, для авторов которой очевидность означает особую способность души осознавать некоторые истины непосредственно (в чистом созерцании, или интуиции). Между прочим, убеждение Канта в априорном синтетическом характере геометрии Евклида зависит от этой традиции не считать аксиомы лингвистическими соглашениями или предположениями. Открытие неевклидовой геометрии (Гаусс, Лобачевский, Бойяи); появление в абстрактной алгебре новых числовых систем, причем сразу целых их семейств (напр., /?-адические числа); появление переменных структур вроде групп; наконец, обсуждение вопросов типа «какая геометрия истинна?» — все это способствовало осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумов рассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Так сформировались основы современного понимания аксиоматического метода. Это развитие аксиоматического метода становится особенно наглядным при сопоставлении «Начал» Евклида с «Основаниями геометрии» Д Гильберта — новой аксиоматики геометрии, базирующейся на высших достижениях математики 19 в.

68

АКТ И ПОТЕНЦИЯ К концу того же века Дж. Пеанод&л аксиоматику натуральных чисел. Далее аксиоматический метод был использован для спасения теории множеств после нахождения парадоксов. При этом аксиоматический метод был обобщен и на логику. Гильберт сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а П. Бернайс — логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий. В последние десятилетия по мере развития моделей теории аксиоматический метод стал в почти обязательном порядке дополняться теоретико- модельным. Н. Н. Непейвода

АКТ И ПОТЕНЦИЯ(лат. actus et potentia, перевод греч. evepyEia Kai Otivauic — действительность и возможность) — понятия философии Аристотеля, используемые им для разрешения противоречия между гераклитовским принципом абсолютного становления и учением Парменида, согласно которому бытие не может возникнуть ни из бытия, так как уже существовало бы до самого себя, ни из небытия, так как ничто не может возникнуть из ничего; согласно Аристотелю, становление есть переход из сущего потенциально (т. о. не-сушего актуально) в актуально сущее. Понятия акта и потенции можно прояснить прежде всего через примеры с движением (Met. 1048а). Однако движение дает только первое представление об акте, поскольку оно является незавершенным и прекращающимся при достижении цели процессом; от акта-движения отличается жг-энтелехия, завершенная деятельность (напр., видеть — значит уже увидеть; Met. 1048b). T. о., понятия акта и потенции употребляются на различных уровнях анализа не в одинаковом смысле (1048Ь5), и потенция в соотношении с актом-движением отличается от потенции в соотношении с актом-сущностью. Аристотель различает потенцию: (1) деятельную, (2) страдательную, (3) перехода в иное и (4) пребывания (Met. 1019а32 — 1019Ь5). Потенцию в метафизическом смысле следует отличать от логической потенции (называемой в схоластике possibilitas) (Met. 1019b22—33). Понятия акта и потенции соотносятся понятиями формы и материи (см. Форма и материя). Однако потенцией обладает не любая материя, а только та, что содержит возможность возникновения в себе самой: так, не земля является потенцией человека, а семя (Met. 1048Ь39 — 1049а18). Акт является первичным по отношению к потенции и по определению, и по субстанции, и в строгом смысле по времени (Met. 1049b - 1050а). Различное соотношение акта и потенции в вещах определяет их онтологическую иерархию. Действительное сущее является причиной актуализации сущего в возможности; вечное движение небесных тел представляет собой чистый акт, хотя оно обладает потенцией к акцидентальным изменениям относительно места (Met. 1050b). Причинно-следственная цепь приводит в конечном итоге в наивысшему акту, актуализирующему все потенции в универсуме — неподвижному перводвигателю, собственным актом которого является самопознание (Met. 1072b). С помощью оппозиции акта- потенции Аристотель решает различные проблемы физики, метафизики, антропологии, этики — такие, как различения субстанции души и ее действий («De amina», 418a), существование бесконечности (Phys. 206a8-18), соотношение общего и единичного (Met. 1086M - 1087а25). Учение Аристотеля об акте и потенции было принято неоплатониками, в значительной мере переосмыслившими его и соединившими с платоновским учением об идеях, которые рассматривались как потенции в мировом уме. Так, согласно Плотину, идеи существуют в единстве в космическом Уме в качестве универсальных категорий (Епп. V 8, 9), но каждая из них — индивидуальная потенция, потенциально отделимый эйдос (Епп. V 9, 6), который может действовать и в умном, и в чувственном мире (Епп. IV 4, 36). Т. о., в отличие от аристотелевской концепции, согласно которой Ум является чистым актом, неоплатоники говорили о наличии потенции в Уме; помимо оппозиции акт-потенция они ввели различение между совершенной потенцией актуального, позволяющей творящему проявлять свою активность, и несовершенной потенцией потенциального, позволяющей принимать эту активность. Их взаимодействие определяет собой мир становления (Прокл. Первоосновы теологии, 75-92). В раннехристианской традиции неоплатоническую концепцию акта и потенции использовали Григорий Нисский и Августин в учении о Троице и Логосе (как Боге Слове), содержащим в вечности потенции вещей. На христианскую традицию также повлиял феческий перевод Библии (Септуагинта), в котором «силы Бога» передаются словом ouvafiic (потенция). Учение Аристотеля об акте-потенции не оказывало явного влияния на средневековую мысль, пока были известны лишь его логические труды и «Категории», содержащие учение о субстанции и акциденциях. Только после распространения всего аристотелевского корпуса оппозиция акта и потенции стала играть большую роль в зрелой схоластике, в частности в трудах Фомы Аквинского. Фома рассматривал соотношение потенции души и ее сущности (Комментарий на 1 кн. «Сентенций», 3,4,2; О Духе Творящем, 1 и др.) и проблему существования потенций в Боге («Сумма против язычников», 1,1, 6 и 7; «Сумма теологии, 1, 25, 1 и 2; «О потенции», 1, 1 и др.). Последнюю он решал посредством различения активной потенции (как оппозиции акту-потенции), присущей Богу в высшей степени, и пассивной потенции (как оппозиции акту-форме), не присущей Богу. Наиболее новаторски Фома использует понятия акта и потенции, обсуждая проблему соотношения сущности и сущего («О сущем и сущности», ГУ). В противовес концепции гилеморфизма, согласно которой все сущее состоит из формы (как акта) и материи (как потенции), он выдвигает учение о том, что высшие интеллигенции состоят из формы, имеющей примесь потенциальности, и из актуализирующего ее акта существования. Дуне Скот сохранял различие акта как субстанциальной формы (actus primus, actus simpliciter) и акта как деятельности (actus secundus), а также различие активной и пассивной потенции; акт как определенность и потенция как определимость соответствовали форме и материи. Но в отличие от аристотелевско-томистской традиции Дуне Скот считал материю не чистой потенцией, а некоторой действительной вещью (aliqua res actu; De rer. Princ. q. 7, f. 1, n. 3). Поскольку сущность Бога он усматривал прежде всего в воле, а не в разуме, то он считал, что Бог может сотворить невозможное, ибо потенция его абсолютная (potentia absoluta); будучи благой, воля Бога творит самое разумное. Отличие творения от Бога Дуне Скотт полагал не в наличии потенции, а в несовершенстве тво-