Примерно тех же взглядов придерживался крупнейший математик второй половины XIX — начала XX вв. Феликс Клейн (1849-1925). Хотя Кэли и Клейн сами работали над неевклидовыми геометриями (как мы увидим далее, существуют несколько неевклидовых геометрий), они рассматривали предмет своих исследований как некие новации, возникающие при введении в евклидову геометрию новых искусственных метрик — функций, задающих расстояние между двумя точками. Ни Кэли, ни Клейн не признавали за неевклидовой геометрией той фундаментальности и применимости к реальному миру, какая приписывалась евклидовой геометрии. Впрочем, до создания теории относительности их позиция была вполне объяснима.
Математики, как это ни печально, «отвернулись от бога», и всемогущий геометр не захотел открывать им, какую из геометрий он избрал за основу при сотворении мира. При выяснении этого вопроса математикам пришлось полагаться только на собственные силы. Существование нескольких альтернативных геометрий само по себе явилось для математиков сильнейшим потрясением, но еще большее недоумение охватило их, когда они осознали, что невозможно с абсолютной уверенностью отрицать применимость неевклидовой геометрии к физическому пространству.
Проблема выбора геометрии, наиболее соответствующей реальному физическому пространству, первоначально поставленная в работах Гаусса, способствовала рождению еще одного творения человеческой мысли, убедившего математический мир, что геометрия физического пространства может быть неевклидовой. Автором новых идей был Георг Бернхард Риман (1826-1866), ученик Гаусса, ставший впоследствии профессором Гёттингенского университета. Хотя работы Лобачевского и Бойаи не были известны Риману в деталях, о них был великолепно осведомлен Гаусс, и Риман, несомненно, знал о сомнениях Гаусса относительно того, в какой мере истинна и насколько применима к физическому пространству евклидова геометрия.
Гаусс проложил дорогу поразительным идеям Римана, высказав еще одну революционную мысль. Обычно мы изучаем геометрию на поверхности сферы, считая последнюю частью трехмерного евклидова пространства и тем самым заранее исключая любые радикально новые идеи. Но предположим, что мы рассматриваем поверхность сферы как пространство само по себе и строим геометрию такого пространства. Прямоугольные координаты здесь не очень подходят, так как для их построения необходимы прямые, которые отсутствуют на сфере. В качестве координат какой-либо точки на сфере можно было бы взять, например, широту и долготу. Еще одна проблема возникает при попытке определить кратчайшие пути из одной точки в другую. Наш повседневный опыт, интерпретированный всеведущими математиками, подсказывает, что кратчайшими путями на поверхности сферы являются дуги больших кругов (например, меридианы), т.е. кругов, центр которых совпадает с центром Земли. Эти дуги и есть «прямые» в сферической геометрии. Продолжая изучать геометрию поверхности сферы, мы обнаружили бы немало странных теорем. Например, сумма углов треугольника, образованного дугами больших кругов, т.е. отрезками «прямых» сферической геометрии, больше 180°.
В своей знаменитой работе, опубликованной в 1827 г., Гаусс исподволь проводил следующую мысль: если мы изучаем поверхности как независимые пространства, то соответствующие этим пространствам двумерные геометрии могут оказаться весьма причудливыми в зависимости от формы поверхностей. Например, эллипсоидальная поверхность, имеющая форму мяча для регби, имеет иную геометрию, нежели сферическая поверхность.
А как обстоит дело на сфере с «параллельными»? Поскольку любые два больших круга пересекаются не один раз, а дважды, в сферической геометрии нам не обойтись без аксиомы, гласящей, что любые две «прямые» пересекаются в двух точках. Совершенно ясно, что геометрия поверхности сферы будет неевклидовой; впоследствии она получила название удвоенной эллиптической геометрии. Такая геометрия вполне естественна для поверхности Земли. Она достаточно «удобна в обращении» и по крайней мере ничуть не уступает той, которая возникает при рассмотрении сферы как двумерной поверхности в трехмерной евклидовой геометрии.
Идеи Гаусса были хорошо знакомы Риману. Гаусс предложил Риману несколько тем для публичной лекции, с которой тому предстояло выступить для получения звания приват-доцента, дававшего право на преподавание в Гёттингенском университете. Риман остановил свой выбор на основаниях геометрии и в 1854 г. в присутствии Гаусса прочел свою лекцию на философском факультете. Лекция Римана была опубликована в 1868 г. под названием «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».
Проведенное Риманом исследование геометрии физического пространства потребовало пересмотра всей проблемы, касающейся структуры пространства. Риман первым поставил вопрос: что же нам достоверно известно о физическом пространстве? Какие условия, или факты, заложены в самом понятии пространства еще до того, как мы, опираясь на опыт, выделяем конкретные аксиомы, которые выполняются в физическом пространстве? Из этих исходных условий, или фактов, Риман намеревался вывести остальные свойства пространства. Такие аксиомы и логические следствия из них и необходимо априори признать истинными. Любые другие свойства пространства надлежало изучать эмпирически. Одна из целей Римана состояла в доказательстве того, что аксиомы Евклида являются эмпирическими, а отнюдь не самоочевидными истинами. Риман избрал аналитический подход (опирающийся на алгебру и анализ), поскольку геометрические доказательства не свободны от влияния нашего чувственного опыта и в них возможны допущения, не входящие явно в число посылок.
Поиск априорного (предшествующего нашему знанию) пространства привел Римана к исследованию локального поведения пространства, ибо свойства последнего могут изменяться от точки к точке. Такой подход получил название дифференциальной геометриив отличие от геометрии пространства в целом, которой занимался Евклид, а в неевклидовой геометрии — Гаусс, Бойаи и Лобачевский.
Следуя локальному подходу к геометрии, Риман столкнулся с необходимостью определить расстояния между двумя типичными, или характерными, точками, координаты которых отличаются на бесконечно малые величины. Расстояние между такими бесконечно близкими точками Риман обозначил ds. Он предположил, что квадрат этого расстояния в трехмерном пространстве (в действительности Риман рассматривал общий случай n-мерного пространства) можно представить в виде
ds 2= g 11 dx 1 2+ g 12 dx 1 dx 2+ g 13 dx 1 dx 3 + g 21 dx 1 dx 2+ g 22 dx 2 2+ g 23 dx 2 dx 3+ g 31 dx 1 dx 3+ g 32 dx 2 dx 3+ g 33 dx 3 2,
где g ij—функции координат x 1, x 2и x 3; g ij= g jiи правая часть положительна при всех значениях g ij. Выражение для dsпредставляет собой обобщение формулы Евклида
ds 2= dx 1 2+ dx 2 2+ dx 3 2,
которую в свою очередь можно рассматривать как один из вариантов теоремы Пифагора. Допуская зависимость коэффициентов g ijот координат, Риман тем самым учитывал, что природа пространства может изменяться от точки к точке. Из формулы для ds 2стандартными методами математического анализа можно извлечь множество фактов о длинах, площадях, объемах и других характеристиках геометрических фигур и тел.
