Мы уже упоминали о том, что натуральные числа есть просто «места» в структуре — натуральном ряду. Но это более или менее современная точка зрения. Ранее, например в Античности, процветала нумерология, в которой отдельным числам приписывались магические свойства. Эти представления широко используются и в нынешних оккультных сочинениях и обрядах. Видимо, были такие времена в истории ранних цивилизаций, когда числа воспринимались как индивидуальные объекты точно так же, как мы распознаем отдельных людей. Что-то в этом спорном положении подтверждается историей с Рамануджаном. Он «знал» числа напрямую, как своих знакомых. Много раз описан разговор Харди с лежащим в больнице Рамануджаном. «Я ехал в такси с ничем не примечательным номером — 1729», — начинает посетитель «пустой» разговор с больным. «Нет, Харди, ты неправ, — отвечает Рамануджан. — Это очень интересное число. Это наименьшее число, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя различными способами». Создается впечатление, что Рамануджан знает числа непосредственно, «лично». В этом отношении существуют восхитительные спекуляции по поводу «феномена» Рамануджана. В одной из популярных книжек было высказано предположение, что математика сейчас есть функция левосторонней части мозга, которая определяет аналитические способности человека. Но вполне возможно, что в период, когда доминирующей была правосторонняя часть мозга, ответственная за чувственные восприятия, человек познавал «непосредственно». И тогда можно предположить, что Рамануджан являлся «осколком» той древней цивилизации, которая развивала математику совсем по другому пути. Но эта романтическая догадка так и остается догадкой.

Сриниваса Айенгор Рамануджан (1887—1920), не имея специального математического образования, получил множество неожиданных и красивых формул, о которых говорили, что ни у кого другого не «хватило бы воображения, чтобы их изобрести». Фото: SPL/EAST NEWS

Большое доказательство

Итак, дедуктивное доказательство есть единственно убедительное свидетельство существования математических объектов и истинности математических утверждений. И коль скоро речь идет об убедительности — ведь доказательство представляет собой аргумент, — есть все основания полагать его «рукотворным». Дело в том, что убедительная аргументация должна быть обозримой. Американский математик Хао Ван заметил как-то, что если доказательство изложено на паре сотен страниц и каждая страница убедительна в отдельности, то в любом случае трудно представить, что в голове эти две сотни страниц могут уложиться в их взаимосвязи. Ясно, что при этом математики ищут выход в том, что укрупняют фрагменты доказательства, делая весь ход мысли более понятным. Но что можно сказать о доказательстве теоремы, которое изложено на 15 000 страниц? Можно ли прочесть такое доказательство? Можно ли считать его убедительным аргументом? Но такой аргумент существует — это доказательство теоремы о том, что обнаружены все простые конечные группы (подробнее об этой теореме и связанном с ней кризисе рассказывается в статьях Д. Горенстейна и Б. Дэвиса). Естественно, такой труд не под силу одному человеку, и в доказательстве принимали участие более 100 математиков. Полное доказательство разбросано по страницам 500 журналов, выходивших на протяжении 40 лет.

Можно ли считать такое доказательство обозримым? Способен ли хоть кто-то охватить его в целом умственным взором? В результате постижения доказательства математик получает уверенность в утверждении теоремы. Насколько сильна эта уверенность в случае огромных многотомных доказательств? Эти сомнения усугубляются еще и чисто прагматическим обстоятельством. Представим себе, что некий математик объявил о доказательстве труднейшей теоремы, но проверка этого результата требует многолетних усилий целого коллектива. Готов ли кто-нибудь надолго забросить свои исследования для того, чтобы проверять правильность чужих?

И все же то, что доказано одним человеком или сотней людей, в принципе можно и проверить усилиями одного человека или сотни людей. Но ситуация с обозримостью и понятностью резко осложняется с появлением в математической практике компьютерных доказательств. История эта началась с теоремы о четырех красках. Она формулируется чрезвычайно просто: для раскраски любой карты на сфере или плоскости так, чтобы никакие две соседние страны не были окрашены одинаково, достаточно четырех цветов. Начиная с середины XIX века было сделано множество попыток справиться с этой теоремой, но удалось это только в 1976 году американским математикам Апелю и Хакену. Одна беда: решающая лемма в доказательстве обосновывалась с помощью компьютерных вычислений, для которых потребовалось 1200 часов машинного времени, по большей части для проверки различных конфигураций.

Вероятно, доказано...

Сама идея компьютерного доказательства вызвала большие споры в математическом сообществе и не меньшие споры в философском. Дело в том, что компьютер представляет собой физическую машину, которая может дать сбой. А проверить «вручную» то, что делает программа, человеку не под силу. Таким образом, как признают сами авторы компьютерного доказательства, теорема обоснована с вероятностью 0,999… Но априорное знание, каким его полагал Платон, не может быть вероятностным. Да и многие математики, не обращающие внимания на философию, также не приемлют идею вероятности доказательства. Теорема либо доказана, либо нет! Доказательство есть результат озарения, а не механического действия машины. Компьютерное обоснование по большей части невозможно проверить «с карандашом и бумагой». Если даже распечатать все программы и все используемые данные, которые займут очень много страниц труднопостижимого текста, не будет никакой гарантии, что данные эти были напечатаны правильно или же правильно прочитаны. К тому же любой компьютер имеет скрытые дефекты — как в программах, так и в «железе», — которые иногда приводят к серьезным ошибкам. И у любого компьютера возможны спонтанные сбои, которые хотя и редки, но тем не менее случались в ходе компьютерных доказательств.

Теорема о четырех красках уже не единственная, доказанная с помощью компьютера. Так что мы приходим к ситуации, когда все теоремы можно будет разделить на четыре категории: доказываемые устно, требующие карандаша и бумаги, требующие вдобавок больших усилий и времени и, наконец, те, которые можно доказать только с помощью компьютера.

Если доказательство является решающим свидетельством в пользу существования математических объектов и фактов, то в свете приведенной классификации теорем трудно отдать предпочтение какой-либо одной традиционной точке зрения на природу математических сущностей: эмпиризму, платонизму или интуиционизму, о которых говорилось в начале статьи.

Ситуация меняется с появлением в математической практике компьютеров, а также чрезвычайно трудоемких «человеческих» доказательств, представляющих собой результат коллективного творчества. Мир математики поражает огромным разнообразием своих объектов и удивительными связями между различными областями. Красота математических рассуждений и определенность достигаемых результатов есть результат творчества человеческого ума. Но, несмотря на весь прогресс науки, перед математиками по-прежнему стоит вечный вопрос: является ли их творчество свободным полетом человеческого гения или же проникновением в тайную структуру окружающего нас мира?

Виталий Целищев

В 1970-е годы «Вокруг света» напечатал статью Бориса Рыбникова о леди Грейс О’Мэйл — неустрашимой предводительнице ирландских морских разбойников. Многие тогда сочли ее историю выдумкой — настолько она была необычна. Ряд фактов в статье действительно придуман, но ее героиня существовала на самом деле. Только звали ее иначе — Грануаль О’Мэлли. Рис. ввеху АНТОН БАТОВ