Формальные системы часто строятся именно по такому последовательному или иерархическому типу. Например, можно придумать Формальную Систему I, с правилами и аксиомами, дающими некие пассивные значения ее символам. Эта Формальная Система I включается в более широкую систему с большим количеством символов — Формальную систему II. Поскольку правила и аксиомы Формальной Системы I являются частью Формальной Системы II, пассивные значения символов Формальной Системы I остаются в силе и формируют жесткий скелет, играющий важную роль в определении пассивных значений новых символов Формальной Системы II. Вторая система может, в свою очередь, являться скелетом для третьей системы, и так далее. Может также существовать система (например, абсолютная геометрия) которая частично дает пассивные значения своих неопределяемых понятий и которая может быть дополнена правилами и аксиомами, далее ограничивающими эти значения. Именно это и происходит в случае эвклидовой геометрии в сравнении с неэвклидовой.

Подобным иерархическим образом мы приобретаем новые знания, расширяем наш словарный запас или воспринимаем незнакомые предметы. Это особенно интересно, когда мы пытаемся понять картины Эшера, скажем, такие, как «Относительность» (рис. 22), где часто встречаются совершенно невозможные образы. Можно предположить, что в таком случае мы должны пытаться интерпретировать картину снова и снова, пока не найдем непротиворечивой интерпретации — однако мы поступаем совершенно иначе. Мы сидим перед картиной, заинтригованные лестницами, ведущими во всех воображаемых направлениях, и людьми, идущими по одной и той же лестнице в противоречащих друг другу направлениях. Лестницы являются тем «островком уверенности», на котором мы основываем нашу интерпретацию всей картины. Увидев в них знакомый предмет, мы пытаемся затем установить, как они связаны друг с другом. На этом этапе мы сталкиваемся с проблемой. Однако если бы мы попытались отказаться от своих взглядов и поставить под сомнение сами «островки уверенности», то столкнулись бы с трудностями иного рода. Мы никак не можем «перерешить» то, что лестницы — это лестницы. Не рыбы, кнуты или руки, а именно лестницы. (На самом деле, выход у нас все-таки есть: можно оставить все линии картины вообще без интерпретации, как «бессмысленные символы» формальной системы. Этот путь — пример «способа U», или отношения дзен-буддизма к символизму.)

Рис. 22. М. К. Эшер. «Относительность» (литография, 1953).

Таким образом, иерархическая природа нашего восприятия заставляет нас видеть либо сумасшедший мир, либо кучу бессмысленных линий. Так же можно проанализировать и многие другие картины Эшера, опирающиеся на какие-либо стандартные формы, соединенные нестандартным образом. Когда зритель видит парадокс на высшем уровне, уже поздно возвращаться и пытаться поменять исходные интерпретации объектов нижнего уровня. Разница между рисунками Эшера и неэвклидовой геометрией заключается в том, что в последней возможно найти значимые интерпретации для неопределяемых понятий таким образом, что система становится понятной, в то время как в первой конечный результат несовместим с нашей концепцией мира, как бы долго мы не рассматривали картину. Конечно, можно придумать такие гипотетические миры, в которых Эшеровские события могут произойти… но эти миры подчинялись бы законам биологии, физики, математики и даже логики на одном уровне, одновременно нарушая их на другом уровне. Что за странные миры! (Примером этого может служить «Водопад» (рис. 5), где вода подчиняется нормальным законам гравитации, в то время как природа пространства идет вразрез с законами физики.)

До сих пор мы подчеркивали тот факт, что внутренняя непротиворечивость формальной системы (взятой вместе с ее интерпретацией) требует наличия некоего возможного мира, в котором все интерпретированные теоремы были бы истинны; единственным ограничением этого мира было бы то, что математика и логика работали бы в нем так же, как и в нашем мире. С другой стороны, внешняя непротиворечивость — непротиворечивость с внешним миром — требует того, чтобы все теоремы были бы истинны в реальном мире. В том случае, когда мы хотим создать непротиворечивую формальную систему, теоремы которой интерпретировались бы как математические суждения, разница между этими двумя типами непротиворечивости, по всей видимости, должна исчезнуть, поскольку мы только что сказали, что математика во всех воображаемых мирах такая же, как и в нашем мире. Таким образом, во всех возможных мирах 1+1 должно равняться 2, в любом мире должно быть бесконечно много простых чисел, прямые углы должны быть конгруэнтны и, разумеется, через точку, лежащую вне прямой должна проходить только одна прямая, параллельная данной.

Минуточку! Последнее — постулат параллельности, и утверждать, что он универсален, было бы ошибкой, как мы только что показали. Если бы постулат параллельности был верен во всех воображаемых мирах, то неэвклидова геометрия была бы невозможна! Это отбрасывает нас назад, в ту же ситуацию, в которой находились Саккери и Ламберт — безусловно, не лучший выход! Что же, если не математика, является общим для всех воображаемых миров? Может быть, логика? Или и она тоже находится «под подозрением»? Могут ли существовать миры, в которых противоречия — нормальное и обыденное явление, миры, где противоречия не являются противоречиями?

В каком-то смысле уже лишь потому, что мы изобрели подобное понятие, такие миры, действительно возможны — однако в более глубоком смысле они также весьма невероятны (Что уже само по себе маленькое противоречие). Говоря серьезно, если мы хотим хоть как-то общаться, то, по видимости, нам придется установить некую общую базу, включающую логику. (Существуют системы верований, отрицающие подобную точку зрения за то, что она слишком логична. В частности, дзен-буддизм с одинаковой готовностью принимает как противоречия, так и непротиворечия Это может показаться непоследовательным, но непоследовательность — органическая часть дзен-буддизма, ну что тут можно сказать?)

Если мы допустим, что именно логика — одна и та же во всех возможных мирах (заметьте, что мы еще не определили, что такое логика — определение будет дано в последующих главах), будет ли этого достаточно? Возможно ли, что в каких-то мирах количество простых чисел не бесконечно? Не должны ли числа подчиняться одним и тем же законам во всех возможных мирах? Или же лучше вообще считать число неопределяемым понятием, как «ТОЧКА» или «ЛИНИЯ»? В этом случае, теория чисел раздвоилась бы, подобно геометрии, на стандартную и нестандартную. Тогда должно было бы существовать соответствие абсолютной геометрии, некая центральная теория, общая для всех теорий чисел, отличающая их, скажем, от теорий какао, бананов или резины. Большинство современных математиков считают, что такая центральная теория чисел существует — вкупе с логикой она является необходимой частью всех возможных миров. Эта сердцевина теории чисел, соответствующая абсолютной геометрии, называется арифметика Пеано, ее определение будет дано в главе VIII. Также уже точно установлено, что теория чисел действительно разветвляется на стандартную и нестандартные версии. (Это прямое следствие Теоремы Гёделя.) В отличие от ситуации с геометрией, однако, количество «сортов» теории чисел бесконечно, что делает положение с ней значительно более сложным.

Для практических целей все теории чисел одинаковы. Иными словами, если бы конструкция мостов зависела бы от теории чисел (и в каком-то смысле так оно и есть), было бы совершенно неважно, что существует множество ее вариантов — в аспектах, касающихся реального мира, все теории чисел совпадают. Этого нельзя сказать о различных геометриях; например, сумма углов в треугольнике равняется 180 градусам только в эвклидовой геометрии, она больше в эллиптической геометрии и меньше — в гиперболической. Говорят, что однажды Гаусс попытался измерить сумму углов в огромном треугольнике, образованном вершинами трех гор, чтобы раз и навсегда определить, какой именно тип геометрии управляет нашей вселенной. Через сто лет Эйнштейн открыл теорию (общую теорию относительности), утверждающую, что геометрия вселенной определяется количеством материи, в ней содержащейся — таким образом, никакой тип геометрии не присущ пространству как таковому. Это значит, что на вопрос «какой тип геометрии является истинным?» природа дает двусмысленный ответ не только в математике, но и в физике. А как же насчет соответственного вопроса «какой тип теории чисел истинен?»? Мы вернемся к нему после детального разбора Теоремы Гёделя.