Все это время мы говорили о «непротиворечивости» и «противоречивости», не давая определений этим понятиям. При этом мы опирались на старый добрый здравый смысл. Давайте теперь точно определим, что имеется в виду под непротиворечивостью формальной системы (вместе с ее интерпретацией). Это означает, что каждая теорема, будучи интерпретирована, становится истинным утверждением. С другой стороны, если среди интерпретированных теорем найдется хоть одно ложное утверждение, мы говорим о противоречивости данной системы.

Это определение говорит нам о противоречивости по отношению к внешнему миру — а как насчет внутренних противоречий? По идее, система была бы внутренне противоречива, если бы она содержала по крайней мере две теоремы, чьи интерпретации были бы несовместимы друг с другом, и непротиворечива, если бы все теоремы были совместимы между собой. Рассмотрим, например, формальную систему, имеющую только следующие три теоремы: ЧвЗ, ЗвЭ и ЭвЧ. Если Ч интерпретируется как «Черепаха», З — как «Зенон», Э — как «Эгберт» и x в y — как x всегда выигрывает в шахматы у «y», то мы имеем следующие интерпретированные теоремы:

Черепаха всегда выигрывает в шахматы у Зенона.

Зенон всегда выигрывает в шахматы у Эгберта.

Эгберт всегда выигрывает в шахматы у Черепахи.

Эти утверждения нельзя назвать несовместимыми, хотя они и описывают довольно странную компанию шахматистов. Таким образом, в этой интерпретации формальная система, в которой эти три строчки являются теоремами, внутренне непротиворечива, хота на самом деле ни одна из ее теорем не является истинной! Внутренняя непротиворечивость требует от теорем не того, чтобы все они были истинными, а лишь того, чтобы все они были совместимы друг с другом.

А теперь давайте предположим, что x в y интерпретируется как «x был изобретен y». Тогда у нас было бы:

Черепаха была изобретена Зеноном

Зенон был изобретен Эгбертом

Эгберт был изобретен Черепахой

В этом случае неважно, какие из отдельных высказываний истинны — а может быть, вообще нельзя установить, какие из них истинны и какие ложны. Однако мы можем с уверенностью сказать, что все три высказывания не могут быть истинными одновременно. Таким образом, данная интерпретация делает систему внутренне противоречивой. Противоречие здесь зависит не от интерпретации заглавных букв, а от интерпретации в и от того, как заглавные буквы передвигаются по кругу вокруг в. Следовательно, можно говорить о внутренней противоречивости, не интерпретируя всех символов системы. (В данном случае хватило интерпретации одного-единственного символа) Возможно, что интерпретировав достаточное количество символов, мы уже ясно увидим, что никакая дальнейшая интерпретация не сделает все теоремы истинными. Дело здесь, однако, не только в истине, а в возможности. Все три теоремы оказались бы ложными, если бы мы интерпретировали заглавные буквы как имена реальных персонажей, однако мы называем систему внутренне противоречивой по другой причине. Мы основываем наше суждение на интерпретации буквы в в сочетании с кругообразностью (Еще кое-что об этом «авторском треугольнике» вы найдете в главе XX).

Мы привели два взгляда на непротиворечивость: первый утверждает, что система вместе с ее интерпретацией непротиворечива по отношению к внешнему миру, когда любая из ее интерпретированных теорем оказывается истинной. Другой говорит нам, что система вместе с ее интерпретацией внутренне непротиворечива, когда все ее теоремы, будучи интерпретированы, совместимы друг с другом. Эти два типа непротиворечивости тесно связаны. Чтобы определить совместимы ли друг с другом несколько высказываний, мы пытаемся представить себе такой мир, в котором все они могут быть истинными одновременно. Таким образом, внутренняя непротиворечивость зависит от непротиворечивости с внешним миром — только теперь «внешний мир» может быть любым воображаемым миром, вместо того, в котором мы живем. Однако это весьма неопределенное и неудовлетворительное заключение. Что составляет такой «воображаемый мир»? В конце концов, возможно вообразить и такой мир, в котором три героя изобретают друг друга по очереди. Или нет? Возможно ли вообразить мир, в котором есть квадратные круги? Или мир, в котором действительны законы Ньютона, а не законы относительности? Возможно ли вообразить такой мир, в котором что-то было бы одновременно зеленым и не зеленым? Или мир, в котором животные не сделаны из клеток? Мир, в котором Бах сымпровизировал восьмиголосную фугу на тему короля Фридриха Великого? В котором комары умнее людей? В котором Черепахи умеют играть в футбол и говорить? Разумеется, Черепаха, говорящая о футболе, была бы аномалией.

Некоторые из этих миров кажется легче вообразить, чем другие, так как некоторые из них включают логические противоречия — например, зеленый и не зеленый — в то время как другие кажутся, за неимением лучшего слова, возможными, сюда например, относятся Бах, импровизирующий восьмиголосную фугу, или животные, состоящие не из клеток. Или даже такие миры, в которых законы физики отличаются от наших… Пожалуй, можно сказать, что имеются разные типы непротиворечивости. Например, самым широким был бы «логически непротиворечивый» класс, так как для вхождения в него не существует никаких ограничений, кроме логических. Система является логически непротиворечивой, когда никакие из ее двух теорем, будучи интерпретированы как суждения, прямо не противоречат одна другой; математически непротиворечивой, когда интерпретированные теоремы не нарушают законов математики и физически непротиворечивой, когда интерпретированные теоремы совместимы с законами физики. За этим следует биологическая непротиворечивость и так далее. В биологически непротиворечивой системе может существовать теорема, интерпретация которой — суждение «Шекспир написал оперу», но не теорема, интерпретируемая как «Существуют неклеточные животные». Подобные причудливые типы противоречивости никто не изучает, так как их весьма сложно различить. Какая именно противоречивость заключена в задаче о трех героях, изобретающих друг друга по кругу? Логическая? Физическая? Биологическая? Литературная?

Обычно граница между интересным и неинтересным проводится между физической и математической непротиворечивостью. (Разумеется, эту линию проводят сами математики и физики — компания, которую вряд ли можно назвать беспристрастной!…) Это значит, что при рассмотрении формальных систем «учитываются» два типа противоречивости — математическая и логическая. В соответствии с этим критерием мы еще не нашли такой интерпретации, в которой тройка теорем ЧвЗ, ЗвЭ, ЭвЧ была бы противоречива. Для этого мы могли бы интерпретировать в как «больше чем». Как насчет Ч, 3, и Э? Они могут быть интерпретированы, например, как 0, 2 и 11, соответственно. Обратите внимание, что таким образом две теоремы оказываются истинными, и одна — ложной. Если бы мы интерпретировали З как 3, у нас получилось бы две ложных и одна истинная теорема. Однако в обоих случаях система была бы противоречива. На самом деле неважно, какое значение мы придаем Ч, З и Э, если мы не выходим за пределы натуральных чисел. Здесь мы опять сталкиваемся со случаем, когда, для того чтобы обнаружить внутреннюю противоречивость, необходима лишь частичная интерпретация символов системы.

Предыдущий пример, в котором были интерпретированы только некоторые из символов, чем-то напоминает занятия геометрией на натуральном языке, когда мы используем некоторые слова как неопределяемые понятия. В таком случае слова делятся на два класса: те, чье значение неизменно и четко определено, и те, чье значение меняется до тех пор, пока система не станет непротиворечивой.(Последние и являются неопределяемыми понятиями). Такой подход к геометрии требует, чтобы слова первого класса уже имели определения, приобретенные вне геометрии. Эти слова формируют скелет системы, ее глубинную структуру, которая может быть затем наполнена различным материалом (эвклидова или неэвклидова геометрия).