~Ea:(a*a)=SSO

теперь говорит нам, что 2 также не является квадратом никакого супернатурального числа. На самом деле, супернатуральные числа имеют те же свойства, как и натуральные, всегда, когда эти свойства выражены в теоремах ТТЧ. Иными словами, все, что может быть формально доказано для натуральных чисел, верно и для супернатуральных чисел. Это означает, что супернатуральные числа не являются чем-то хорошо знакомым, вроде дробей, отрицательных чисел, комплексных чисел и т. п. Вместо этого, супернатуральные числа могут быть представлены, как целые числа, большие чем всё натуральные числа — то есть, как бесконечно большие целые числа. Дело в том, что хотя теоремы ТТЧ могут «запретить» отрицательные числа, дроби, иррациональные и комплексные числа, они бессильны против бесконечно больших величин. Проблема в том, что в ТТЧ невозможно даже выразить высказывание «бесконечных величин не существует».

С первого взгляда это кажется весьма, странным. Насколько велико число, составляющее пару доказательства с Гёделевым номером строчки G? (Давайте назовем это число «I», без особой на то причины.) К несчастью, у нас нет подходящих терминов для описания размера бесконечно больших целых чисел, так что я боюсь, что мне не удастся поведать вам, насколько велико I. С другой стороны, насколько велико i (квадратный корень из -1)? Его величина не может быть выражена в терминах знакомых нам натуральных чисел. Вы не можете сказать, что i вдвое меньше 14. Вам приходится успокоиться на том, что i в квадрате равняется -1. Здесь уместно процитировать Абраама Линкольна. Когда его спросили, какой длины должны быть человеческие ноги, он ответил; «Достаточно длинными, чтобы доставать до земли». Примерно так же нам придется ответить на вопрос о величине I: оно должно равняться числу, определяющему структуру доказательства G: не больше и не меньше.

Разумеется, любая теорема ТТЧ может быть выведена разными способами, так что вы можете пожаловаться, что мое определение I не является единственным. Это верно. Но сравнение с i, квадратным корнем из -1, все равно годится. Вспомните, что существует еще одно число, чей квадрат равняется -1 — а именно, -i. i и -i — не одно и то же число. У них просто есть общее свойство. Проблема в том, что они определяются именно через это свойство! Нам приходится выбрать одно из них — неважно, какое именно — и называть его i. На самом деле, мы никак не можем их различить. Вполне возможно, что все эти годы мы считали за «i» ошибочное число — однако для нас в этом не было никакой разницы. Так же как i, I определено неоднозначно. Вы можете думать об I как о каком-либо из многих супернатуральных чисел, составляющих пару доказательства с арифмоквайнификацией d.

Мы еще не выяснили всех последствий добавления —G в качестве аксиомы ТТЧ Дело в том, что ~G утверждает, что у G имеется доказательство! Как может какая-либо система устоять, когда одна из ее аксиом утверждает, что ее собственное отрицание имеет доказательство? Тут-то мы попали в переделку! Однако все не так плохо, как кажется Пока мы строим только конечные доказательства, нам не удастся доказать G. Таким образом, кошмарного столкновения между G и ее отрицанием —G не произойдет никогда Супернатуральное число I не будет причиной несчастья. Однако нам придется привыкнуть к мысли, что теперь истинно ~G (утверждающее, что у G есть доказательство), в то время как G (утверждающее, что у G нет доказательства) ложно. В стандартной теории чисел дело обстоит наоборот — но там нет никаких супернатуральных чисел. Обратите внимание на то, что супернатуральная теорема ТТЧ — а именно, G — может утверждать нечто ложное, но все натуральные теоремы остаются истинными.

Я хотел бы поделиться с вами одним интересным и неожиданным фактом по поводу супернатуральных чисел — при этом я оставлю этот факт без доказательства. (Так как сам его не знаю.) Этот факт напоминает о принципе неопределенности Гейзенберга в квантовой механике. Оказывается, что супернатуральные числа можно «индексировать» простым и естественным образом, ассоциируя с каждым из них тройку обыкновенных чисел (включая отрицательные). Таким образом, наше I может получить индекс (9,-8,3), а следующее за ним I+1 — индекс (9,-8,4). Не существует какого-то одного способа индексировать все супернатуральные числа: у разных методов есть свои плюсы и минусы. Некоторые схемы индексации позволяют легко вычислить тройной индекс для суммы двух супернатуральных чисел, исходя из индексов двух слагаемых. Другие схемы позволяют нам с легкостью вычислить индекс произведения двух супернатуральных чисел, исходя из индексов двух множителей. Но никакая из существующих схем не позволяет нам вычислить и то, и другое. Если индекс суммы вычисляется с помощью рекурсивной функции, то индекс произведения не будет рекурсивной функцией — и наоборот, если индекс произведения — рекурсивная функция, то индекс суммы — нет. Таким образом, супернатуральные детишки, изучающие в своей школе сложение, не смогли бы проходить таблицы умножения — и наоборот! Знать и то и другое одновременно невозможно.

Можно пойти еще дальше теории супернатуральных чисел и рассмотреть супернатуральные дроби (отношение двух супернатуральных чисел), супернатуральные действительные числа, и так далее. На самом деле, вычисления могут делаться на новой основе если мы введем понятие действительных супернатуральных чисел. Бесконечно малые величины, такие как dx и dy, этот кошмар для математиков, могут быть с легкостью объяснены если рассматривать их как противоположность бесконечно больших действительных чисел! Некоторые теоремы высшей математики могут быть доказаны более интуитивно с помощью «нестандартного анализа».

Нестандартная теория чисел при первом знакомстве сбивает с толку. Но ведь и неэвклидова геометрия тоже странная штука! В обоих случаях так и хочется спросить: «Но какая из этих двух соперничающих теорий правильна? Какая из них выражает истину?» В некотором смысле, ответа на этот вопрос не существует. (Но в другом смысле, о котором мы поговорим позже, на этот вопрос можно дать ответ.) То, что ответа нет, объясняется тем фактом, что соперничающие теории, хотя они и пользуются одинаковыми терминами, говорят о разных вещах. Поэтому они соперники только по видимости, точно так же как эвклидова и неэвклидова геометрии. В геометрии слова «точка», «линия» и так далее — неопределенные термины, и их значения определяются той аксиоматической системой, в рамках которой они в данный момент используются.

То же самое можно сказать о теории чисел. Решив формализовать ТТЧ, мы заранее выбрали термины для интерпретации — например, «число», «плюс», «умножить» и так далее. Приступив к формализации, мы тем самым согласились работать с любыми значениями, которые эти термины могут принять. Но оказывается, что, как и Саккери, мы не были готовы к сюрпризам. Мы думали, что нам известно, какая теория чисел истинна, правильна и единственна, и не подозревали о том, что ТТЧ не сможет ответить на некоторые вопросы о числах — вопросы, на которые оказалось возможным ответить ad libitum только расширив теорию чисел в разных направлениях. Таким образом, у нас нет основания утверждать, что теория чисел «в действительности» имеет ту или иную форму, так же как мы не можем сказать, существует ли в действительности квадратный корень из -1.

Против этого можно использовать следующий довод. Предположим, что физические эксперименты в реальном мире могут быть более экономно объяснены с помощью одного определенного варианта геометрии. В таком случае, у нас было бы основание называть именно этот вариант «истинной» геометрией. С точки зрения физика, желающего иметь дело с «правильной» геометрией, имеет смысл различать между «истинным» и остальными вариантами геометрии. Но к этому нельзя подходить слишком упрощенно. Физики всегда имеют дело с приближенными или идеализированными ситуациями. Например, моя собственная диссертация, о которой я упомянул в главе V, была основана на крайней идеализации проблемы кристаллов в магнитном поле. Результатом этого были некие красивые и симметричные математические модели. Несмотря на искусственность модели — или, скорее, благодаря ей — в графике ясно отразились некоторые ее основные черты. Это помогает представить, что может происходить в более реалистических ситуациях. Без упрощающих допущений, использованных мною при построении графика, такие догадки были бы невозможны. Такие ситуации встречаются в физике очень часто: физики используют «воображаемую» ситуацию, чтобы узнать о глубоко спрятанных чертах действительности. Поэтому необходимо быть осторожным, утверждая, что геометрия, используемая физиками, представляет собой «истинную геометрию»; на самом деле, физики используют несколько различных вариантов геометрии, в каждой данной ситуации выбирая наиболее простой и подходящий.