Компьютер может искать такое число вечность, хотя мы с вами прекрасно знаем, что сумма двух четных чисел всегда дает четное число. Но вот вам пример гораздо более сложной задачи:

• Найти четное число больше 2, не являющееся суммой двух простых чисел.

Как вы считаете, справится ли когда-нибудь компьютер с этим расчетом? Вообще-то считается, что эта задача (называемая проблемой Гольдбаха) не имеет решения, но она столь сложна, что у математиков нет единого мнения об ее истинности. Я нарочно подобрал три задачи разной степени сложности (очень простую, достаточно сложную и настолько сложную, что никто не знает ее ответа), чтобы сформулировать следующий вопрос:

• Пользуются ли математики некоторым алгоритмом вычислений (давайте обозначим его через А), который позволяет им убедиться, что некий вариант вычислений будет продолжаться бесконечно долго?

Например, подумайте, сработало ли в мозгу Лагранжа нечто похожее на компьютерную программу, прежде чем он пришел в конечном счете к заключению о возможности представления каждого числа суммой квадратов четырех чисел? Для ответа на этот вопрос вовсе не надо представлять себя Лагранжем, достаточно просто проследить за ходом его рассуждений. Заметьте, что меня совершенно не интересует проблема оригинальности мысли, я хочу лишь рассмотреть проблему самого процесса познания, вследствие чего и использовал в формулировке вопроса слово «убедиться» (подразумевая возникновение или создание какого-то понимания).

В науке вообще (а в логике, в частности) утверждения о том, что некоторые вычисления являются бесконечными, носят название П1-высказываний. Давайте рассмотрим такие высказывания несколько подробнее, так как я собираюсь доказать, что указанного выше алгоритма А не существует.

Я начну доказательство с некоторого обобщения рассмотренных выше задач, а именно попытаюсь выявить зависимость связанных с их решением вычислений от чисел п натурального ряда. Пусть, например, нам необходимо:

• Найти натуральное число, не являющееся суммой п квадратных чисел.

Нам уже известно, что для п = 3 ответ может быть получен очень быстро, а для чисел п > 4 вычислительные операции никогда не закончатся (в соответствии с теоремой Лагранжа). Попробуем далее решить следующую задачу:

• Найти нечетное число, являющееся суммой п четных чисел.

В этом случае нам нет даже необходимости говорить о зависимости от п, поскольку для любых п вычисления никогда не закончатся. Наконец, в качестве обобщения проблемы Гольдбаха я предлагаю задачу следующего вида:

• Найти четное число больше 2, не являющееся суммой п простых чисел.

Если утверждение Гольдбаха верно, то вычисления будут длиться бесконечно для всех п (кроме 0 и 1). В некотором смысле доказательство даже упрощается с ростом п. Я действительно верю, что существует достаточно большое число п, для которого вычисления «продолжаются вечно».

Важнейшей характеристикой вычислений такого типа является их зависимость от чисел натурального ряда п, и именно это обстоятельство стало центральным моментом для так называемой теоремы Гёделя о неполноте (в Англии ее иногда называют догадкой или конъектурой Гёделя). Я буду рассматривать ее в формулировке, предложенной Аланом Тьюрингом, однако незначительно изменю ход его рассуждений. Если вы не любите математические выкладки, то можете просто пропустить этот кусок текста. Получаемый результат очень важен, но особенно интересно то, что доказательство вовсе не является сложным — оно всего лишь поразительно и даже вызывает недоумение!

Вычисления, связанные с конкретным числом п, совершенно стандартны и привычны для большинства компьютерных программ. Вы можете, например, просто взять набор программ, пронумеровать их в соответствии с текущим номером (обозначив его через р), а затем запустить компьютер, заложив в него этот порядковый номер. Компьютер начнет добросовестно «тарахтеть», последовательно осуществляя вычисления с числом п в соответствии с р-й программой. Вам необходимо лишь записать порядковый номер р в виде нижнего индекса справа, и тогда набор программ (или вычислений), связанных с числом п, примет простой и ясный вид

С(n), С₁(n), С₂(n), С₃(n), ..., С_p(n), ... .

Предположим, что этот набор содержит все возможные вычисления С_p(n) и что мы можем найти какой-то эффективный метод упорядочения этих компьютерных программ, так что индекс р означает р-ю по порядку программу вычислений в соответствии с некоторым правилом, вследствие чего С_p(n) будет означать р-ю программу, примененную к числу п.

Предположим далее, что мы имеем какую-то вычислительную (т. е. алгоритмическую) процедуру А, относящуюся к паре чисел (р, п), осуществление которой дает очевидное и убедительное доказательство того, что работа программы С_p(n) еще не закончена. При этом вовсе не требуется, чтобы алгоритм А(р, п) работал постоянно, т. е. если вычисление С_p(n) является бесконечным, то это не значит, что характеризующий его алгоритм А(р, п) тоже будет выполняться за бесконечное время. Но я подчеркиваю, что алгоритм А (в соответствии с уже отмеченными свойствами компьютера) срабатывает без ошибок, т. е. если операция А(р, п) не завершена, то это также означает, что вычисление С_p(n) не закончено. А теперь представим себе, что какие-то математики, исходя из соображений типа описанного алгоритма А, сформулировали (или просто повторили) в строгом математическом виде некоторое утверждение (например, П1-утверждение). Предположим также, что они знают о существовании операции А и уверены в ее надежности и обоснованности. Представим себе далее, что процедура А включает в себя все операции, доступные математикам для того, чтобы убедить последних в бесконечном характере вычислений. Процедура А начинается с отбора программы, имеющей индекс р, а затем натурального числа п, к которому относится данная программа. Далее, если вычислительная операция А(р, п) закончена, то это означает, что вычисление С_p(n) не завершено, т.е.

Если операция А(р, п) завершена, то вычисление С_p(n) не закончено. (1)

Собственно говоря, в этом и заключается роль процедуры А — она должна давать неопровержимые доказательства того, что определенные вычисления не окончены.

Предположим далее, что р = п, в результате чего возникает хорошо известная и довольно забавная ситуация, известная под названием диагонализации Кантора (кстати, ее использование математически совершенно обоснованно), после которой мы вдруг приходим к следующему выводу:

Если операция А(п, п) завершена, то вычисление С_n(n) не закончено.

Но в данном случае A(п, п) зависит лишь от одного параметра п и, следовательно, принадлежит к набору вычислительных программ С_p(n) (поскольку этот список по определению включал в себя все вычисления, связанные с единственной переменной п). Предположим, что вычислительная программа, идентичная A(п, п), имела индекс k, т.е.

А(n, n) = С_k(n).

Положив n = k, мы тут же получаем

А(k, k) = С_k(k),

что в сочетании с условием (1) сразу приводит к заключению:

Если операция А(k, k) завершена, то вычисление С_k(k) не закончено.

Вспомнив, что А(k, k) совпадает с С_k(k), мы попадаем в логическую ловушку. Раз вычисление С_k(k) заканчивается, то оно не заканчивается (следовательно, оно заканчивается и т. д.). Ловушка заключается в том, что если мы доверяемся проверочной процедуре А, то должны верить и в то, что вычисление С_k(k) не закончено. Однако при этом процедура А тоже никак не может закончиться, т. е. «понять» наконец, что вычисление С_k(k) не кончается. Поэтому вычислительная процедура никак не может замкнуть цепочку математических рассуждений и решить, что заданное вычисление не заканчивается, т. е. установить истину П1-утверждения. В этом суть доводов Гёделя-Тьюринга в той форме, которая нужна мне для дальнейших рассуждений.