Однако проблемы квантовой механики не сводятся только к суперпозиции состояний с использованием комплексных чисел. До сих пор мы говорили лишь о квантовом уровне (правила которого я обозначил выше буквой U), на котором состояние системы действительно задается суперпозицией всех возможных состояний, усредненных посредством некоторых комплексных множителей. Временная эволюция такого квантового состояния называется шредингеровской или унитарной (именно поэтому я использовал в обозначениях букву U). Важнейшим свойством эволюции такого типа является линейность, т. е. для эволюции суперпозиции двух состояний можно считать, что каждое из состояний изменяется по индивидуальному закону, однако комплексные коэффициенты, по которым осуществляется усреднение, остаются постоянными. Такая линейность является характерной особенностью уравнения Шредингера, и на квантовом уровне это условие действительно выполняется для любой суперпозиции состояний.

Однако при увеличении масштаба какой-либо характерной величины происходит изменение правил. В теории увеличение масштабов соответствует переходу от квантового уровня U к классическому уровню С (этот переход обозначен на рис. 2.1 буквой R), а для физического эксперимента это означает, например, рассмотрение участка на экране. При таком переходе мелкомасштабное, квантовое событие срабатывает в качестве триггера, «запуская» значительно более крупное событие (какое только и может наблюдаться на классическом уровне!). Обычно этот переход в квантовой механике называют коллапсом волновых функций или редукцией вектора состояний.

В детали этого процесса (который я на рис. 2.1 обозначил буквой R) физики вдаваться не любят, поскольку при этом осуществляются операции, не имеющие ничего общего с упомянутой мною унитарной эволюцией. В суперпозиции двух возможных состояний необходимо рассматривать два комплексных числа и квадраты их модулей (это сводится лишь к вычислению квадратов расстояний до соответствующих точек на диаграмме Аргана), а вероятность этих состояний определяется просто отношением квадратов этих модулей. Однако эту операцию можно осуществить лишь после проведения «измерения» или «наблюдения», и вы можете считать, что этот процесс соответствует эффекту изменения масштаба при переходе от уровня U к уровню С на рис. 2.1. При этом вам необходимо изменить «правила игры», поскольку перестает сохраняться линейность суперпозиции. Именно в этот момент отношения квадратов модулей мгновенно обращаются в вероятности, т. е. при переходе от уровня U к уровню С система становится (вы делаете ее) недетерминированной. На уровне U все было в порядке, и система была детерминирована, но вы сами делаете ее недетерминированной, как только осуществляете «измерение».

Эта схема обычна для квантовой механики, но она весьма необычна для теории, претендующей на звание фундаментальной. Описываемый переход был бы полон глубокого смысла, если бы он выступал в качестве приближения к некой более общей фундаментальной теории, но проблема состоит в том, что именно эта странная процедура рассматривается физиками-профессионалами в качестве основы фундаментальной теории!

Мне хочется рассказать еще кое-что о комплексных числах. На первый взгляд они действительно представляются довольно отвлеченными понятиями, которые витают где-то рядом, а потом неожиданно, как только кому-то вздумается вычислить квадраты их модулей, обращаются в привычные нам вероятности. В действительности они имеют, как я уже пытался показать, очень простой геометрический смысл, который легко продемонстрировать на следующих простых примерах. Для этого мне придется ввести еще некоторые простые обозначения из квантовой механики. Речь пойдет, в частности, о так называемых скобках Дирака, форма записи которых может показаться кому-то из вас даже забавной. Они представляют собой своеобразные профессиональные «стенографические» значки. Например, выражение | А > означает, что система находится в квантовом состоянии A, а внутри скобки заключено просто некое описание этого состояния. Очень часто полное квантовомеханическое состояние системы (которое принято обозначать греческой буквой ψ) является суперпозицией других состояний, вследствие чего, например, для описанного выше эксперимента с двумя щелями имеет место соотношение

| ψ > = w| А > + z| B >.

В квантовой механике нас интересуют не столько значения каких-то чисел, сколько их отношения. Поэтому в ней существует и правило, в соответствии с которым умножение состояния на любое комплексное число (за исключением нуля, разумеется) не изменяет общей картины. Другими словами, физический смысл имеют лишь отношения комплексных чисел. При переходе R мы должны рассматривать вероятности (т. е. отношения квадратов модулей), однако, оставаясь на квантовом уровне, мы еще можем надеяться на какую-нибудь прямую физическую интерпретацию самих комплексных чисел и их отношений, даже не переходя к вычислению модулей. Для этого можно воспользоваться, например, описанной выше так называемой сферой Римана (см. рис. 1.10, в), которая, строго говоря, относится не к самим комплексным числам, а к их отношениям. Разумеется, используя отношения, мы всегда должны заботиться о том, чтобы знаменатель не обращался в нуль (в результате чего вся дробь будет стремиться к бесконечности). На такой сфере может быть представлено все множество комплексных чисел (включая значения на бесконечности), причем в результате изящного метода проекции (рис. 2.4) экваториальное сечение такой сферы представляет собой окружность единичного радиуса на плоскости Аргана. Очевидно, что, используя южный полюс сферы в качестве центра проекции, мы можем перевести каждую точку из экваториальной плоскости на сферу Римана. При этом, как видно из рисунка, сам полюс соответствует бесконечно удаленным точкам на этой плоскости.

Рис. 2.4. Сфера Римана.

Проекция южного полюса сферы S через точку Р (соответствующую отношению u = z/w на комплексной плоскости) обозначается точкой Р' на сфере. Направление ОР' (от центра сферы O) соответствует ориентации спина при суперпозиции двух частиц со спином ½.

Сфера Римана (пока мы будем рассматривать ее в качестве абстрактного, математического объекта) очень удобна для описания квантовых систем, которые могут находиться в двух разных квантовых состояниях или являться суперпозицией таких состояний. В этом примере мне очень нравится то, что для частиц с половинным спином (а такими являются электроны, протоны, нейтроны) различные комбинации спиновых состояний легко могут быть представлены в геометрическом виде. Частицы с полуцелым спином могут находиться в двух спиновых состояниях (эти состояния соответствуют двум направлениям момента собственного вращения), которые можно назвать просто верхним и нижним состояниями. Суперпозицию двух состояний при этом можно символически записать в виде уравнения

Различные комбинации таких спиновых состояний соответствуют вращениям относительно других осей, положение которых зависит от отношения комплексных чисел w и z, дающего нам еще одно комплексное число u = z/w. Направление спиновой оси определяется прямой, проведенной через центр сферы Римана и точку на сфере, соответствующую числу u, так что комплексные числа в данном случае имеют совершенно конкретный физический смысл. Вообще говоря, уловить этот смысл бывает иногда достаточно трудно, но для частиц с полуцелым спином он очевиден.

Мне хотелось бы обратить ваше внимание на следующее обстоятельство. Конкретная направленность спинов (вверх-вниз) в рассмотренном примере несущественна, и спины в принципе могут быть направлены как угодно (влево-вправо, вперед-назад), т. е. исходное значение двухчастичного состояния не играет никакой роли (исключение составляет выделенное начальное состояние с противоположено направленными спинами). В соответствии с одним из законов квантовой механики все спиновые состояния одинаково удобны для рассмотрения, что и было показано выше.