Итак, в каждой задаче на построение требуется указать некоторый способ построения. Когда такой способ предъявляется, как это было для задачи о середине отрезка, он, способ, обычно не вызывает сомнений. Но когда утверждается, что такого способа нет, как это утверждается для квадратуры круга или для трисекции угла, возникает необходимость уточнить, чего именно нет.

Всякий способ построения состоит в указании некоторой последовательности разрешённых операций. Последовательность эта - своя для каждой задачи. Сам же перечень разрешённых операций один и тот же для всех задач на построение. Он весьма невелик, и мы сейчас с ним познакомимся.

Прежде всего, это операции, связанные с линейкой. Читателя может удивить множественное число. Что ещё можно делать с линейкой, как не чертить прямую? А вот что: чертить луч, то есть полупрямую; чертить отрезок. Более точно: разрешается, приложив линейку к двум уже построенным точкам, начертить отрезок между этими точками; или луч, начинающийся в одной из этих точек и проходящий через другую; или прямую, проходящую через эти две точки. Господи! - воскликнет читатель, да это же и так ясно, стоило ли тратить слова на такую очевидность. Я благодарен читателю за это восклицание, потому что оно даёт возможность объяснить, почему стоило. Для этого рассмотрим ещё одну операцию, не менее простую для исполнения, чем проведение прямой через две точки, но, однако же, не входящую в перечень разрешённых: через данную точку провести касательную к данной окружности. Начертив окружность и взяв точку вне круга, читатель убедится, как легко провести касательную, используя реальную, деревянную или металлическую, линейку. Тем не менее в перечень разрешённых операций проведение касательной не включено. Мы только что прибегли к важному, как нам кажется, приёму обучения понятиям: надо не только приводить примеры вещей, входящих в объём вводимого понятия, но и контрпримеры вещей, в указанный объём не входящих. Так, чтобы на примерах объяснить, что такое чётное число, надо не только сказать, что числа 0, 2, 4, 6 и так далее являются чётными, но и сказать, что числа 1, 3, 5, 7 и так далее таковыми не являются; чтобы объяснить марсианину, что такое кошка, надо предъявить ему не только несколько кошек, но также и несколько собак, сказав, что они кошками не являются.

С циркулем связана такая операция. Установив иглу циркуля в уже построенную точку, а стило в другую уже построенную точку, разрешается начертить окружность. И даже более общо: установив иглу и стило в две уже построенные точки, разрешается, не меняя раствора циркуля, перенести иглу в третью уже построенную точку и начертить окружность.

Разрешается находить пересечения друг с другом уже построенных прямых, лучей, отрезков, окружностей и дуг окружностей (но не всяких дуг, а расположенных между двумя уже построенными точками).

Наконец, разрешается совершать так называемый выбор произвольной точки. Это значит, что разрешается нанести стилом точку в любом месте плоскости, а также в любом месте уже построенной фигуры и использовать эту точку в дальнейших построениях. (Термин «фигура» обозначает здесь отрезок, луч, прямую, окружность, дугу окружности, а также участок плоскости, граница которой составлена из перечисленных только что простейших фигур.)

Только теперь, после описания всех разрешённых операций, обретает точный смысл утверждение о нерешимости той или иной задачи на построение, в частности задачи о квадратуре круга. Отсутствие решения означает здесь отсутствие такой цепочки разрешённых операций, которая приводила бы от круга к квадрату той же площади.

Заметим, что сам перечень разрешённых операций в значительной степени обусловлен историческими причинами и, вообще говоря, мог бы быть другим. Например, можно было бы включить в число разрешённых операций операцию построения касательной, о которой говорилось выше (заметим, кстати, что это не дало бы ничего принципиально нового, потому что касательную можно построить, подобрав подходящую цепочку разрешённых операций из старого перечня). Можно было бы включить в число разрешённых операций вычерчивание эллипса - ведь устройство для вычерчивания эллипса лишь немногим сложнее циркуля (достаточно вбить два гвоздя в фокусы эллипса и протянуть между ними нить, более длинную, нежели расстояние между фокусами; зацепим нить стилом и натянем; тогда, перемещая стило так, чтобы нить оставалась натянутой, получим эллипс). Да даже и не надо заботиться о лёгкости выполнения разрешённой операции: строго говоря, мы вправе объявить разрешённой любую операцию по нашему усмотрению. Перечень разрешённых операций, с чисто логической точки зрения, достаточно произволен. Однако, коль скоро он выбран, он уже не меняется. Полезная аналогия: свод юридических актов. С чисто логической, опять же, точки зрения, законы произвольно устанавливаются законодателем, но, будучи принятыми, они уже - хотя бы на определённый период - не меняются; во всяком случае, так должно быть.

Объясним теперь, почему задачам на построение было уделено здесь такое внимание. Причина в том, что на примере этих задач мы пытались продемонстрировать некоторые математические представления принципиального характера, представления, которые можно отнести к философии математики, а то и к философии вообще. Перечислим эти представления.

Во-первых, был ещё раз проиллюстрирован тезис, что задача, или проблема, всегда есть требование что-то найти, указать, построить.

Во-вторых, была показана необходимость уточнения того, в пределах какого класса объектов ищется решение задачи. Иногда этот класс состоит из объектов довольно простой (честнее было бы сказать: довольно привычной) природы - троек чисел в проблеме Ферма, отрезков в проблеме соизмеримости, но иногда он состоит из довольно-таки специальных объектов, подобно цепочкам операций в задачах на построение.

В-третьих, уточнение, о котором только что шла речь, особенно необходимо в случае, если задача оказывается нерешимой.

В-четвёртых, представление о разрешённой операции, в его общем виде, шире сферы задач на построение. Оно существенно и для компьютерной науки (Computer Science), и для компьютерной практики, а именно для программирования. Каждый компьютер имеет свой набор разрешённых операций, а каждая компьютерная программа есть некоторая цепочка операций, выбранных из этого набора.

Именно в силу своего философского аспекта задачи на построение должны занимать достойное место в школьном курсе геометрии. Мы не имеем в виду сложных задач, требующих зачастую большой изобретательности, - такие задачи должны изучаться в специализированных математических классах. Нет, мы имеем в виду самые простые задачи вроде задачи о построении правильного треугольника или задачи о нахождении середины отрезка.

В который уже раз подчеркнем, что задача - это всегда требование что-то найти, построить, указать. В школе это «что-то» обычно называют ответом, а систему рассуждений, приводящую к ответу, - решением. Во «взрослой» математике ответ чаще всего тоже называют решением. Таким образом, термин «решение» приобретает два значения: ‘решение-ответ’ и ‘решение-процесс’ - причём первое есть результат второго. С точки зрения русской лексики ситуация здесь отнюдь не уникальна: например, печенье как изделие есть результат печения как действия по глаголу «печь». К путанице подобная полисемия, как правило, не приводит: из контекста всегда бывает ясно, что имеется в виду. Так что согласимся употреблять «взрослую» терминологию.

В замечательной одноактной пьесе «Урок» Эжена Ионеско есть такой диалог, который мы приведём с купюрами.

«Учитель. ‹…› Сколько будет, ну, скажем, если три миллиарда семьсот пятьдесят пять миллионов девятьсот девяносто восемь тысяч двести пятьдесят один умножить на пять миллиардов сто шестьдесят два миллиона триста три тысячи пятьсот восемь?