- Откройте сорок восьмую страницу... Нашли? Обратите внимание вот на эти строчки!

- "Необходимость в математических польожелинх и необходимость в вещах, возникающих согласно природе, - прочел Николай на греческом языке, - в известном отношении очень сходны, именно, если прямая линия есть вот это (то есть установленное аксиомой прямой), то необходимо, чтобы треугольник имел (внутренние) углы, равные двум прямым..." Послушайте, ведь это же интересно! - прервал чтение Лобачевский. - Чьи слова?

- То-то же, - с некоторой гордостью отозвался Броннер. - Дальше читайте.

- "Однако нельзя еще сказать, что если последнее положение правильно, то правильно и первое, а только:

если оно (то есть утверждение, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°) неправильно, не будет и прямой... не будет начал, если треугольник не будет иметь два прямых угла".

Лобачевский посмотрел на Броннера.

- Это же Аристотель! - воскликнул он. - Спи огненные слова мне врезались в память еще в гимназии.

- А вы читайте, читайте! - улыбнулся физик. - Вот здесь.

- "Говоря правильно относительно некоторых вещей, - пробежал Николай отмеченные строки, - нельзя утверждать, что это относится ко всему. Ведь и треугольник всегда имеет (внутренние) углы, равные двум прямым, однако причина сей вечности лежит в другом, для начал же, которые существуют вечно, такой другой причины нет..."

Гм... В одном предложении столько мудрых мыслей, что и голова не вмещает. Я немедленно перепишу.

Он раскрыл титульный лист книги:

- "Физика"?

- Да, - сказал Броннер, - та самая, которую мы когда-то с вами купили в книжной лавке. Изучил я это сочинение от корки до корки еще в студенческие годы, в Эйхштадтском университете.- Мне запомнилась тогда крылатая фраза, которую искал я сегодня в этой книге... Догадались какая?

Лобачевский ответил:

- "Если прямая линия есть вот это, то есть предписанное аксиомой прямой, то необходимо, чтобы треугольник имел внутренние углы, равные двум прямым". Не та ли?

- Та, - улыбнулся физик. - Когда вчера на банкете завели разговор о том, что истинность пятого постулата вытекает из определенных свойств прямой линии, мне сразу же показалось, что у кого-то я читал об втжж вещах. А дома вспомнил Аристотеля...

Тут Броннер заметил, что Лобачевский уже не слушает его.

- Теорема о сумме внутренних углов треугольника опирается на постулат о параллельных линиях, - рассуждал он вслух, - и если бы удалось независимо от постулата Евклида установить, что сумма углов треугольника равна двум прямым, то, опираясь на это предложение, можно было бы легко доказать и самый постулат... Кажется, гдето я читал об этом...

- Вот именно, - прервал его размышления Броннер, - из аксиомы прямой вывести теорему о сумме внутренних углов треугольника, а из нее утверждение, содержащееся в постулате Евклида. Оно без всякого сомнения может быть вполне доказано. Так предполагали еще древние мыслители. Вот что писал, например, знаменитый Прокл.

Я прочту вам перевод с английского текста, изданного в Лондоне в 1792 году. - Броннер достал из свертка другую книгу в кожаном переплете и, полистав ее, нашел подчеркнутые строчки: - "Это утверждение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что оно - теорема, вызывающая много сомнений... и сам Евклид дает обращение этого предложения в качестве теоремы".

Броннер на минуту задержался. Лобачевский спросил его:

- Все?

- Нет, еще не все. Дальше идут знаменательные строки. Послушайте: "Конечно, совершенно необходимо признать, что прямые линии наклоняются одна к другой, когда прямые углы заменяются острыми [(lobach02.gif)То есть когда перпендикуляры к секущей заменяются наклонными, образующими с ней острые внутренние односторонние углы]. Однако то, что эти наклонные при продолжении сойдутся, остается не достоверным, а лишь вероятным до тех пор, покуда этому не дано будет логическое доказательство, ибо существуют бесконечные наклонные линии, которые никогда не сходятся... [(lobach02.gif) Например, две гиперболические ветки АА' и BE' могут асимптотически приближаться одна к другой, образуя острые углы из концов секущей АВ] Но то, что бывает при других линиях, почему же не может быть при прямых? До тех пор, пока мы этого не обнаружим путем доказательства, свойства, которые могут проявиться при неограниченном продолжении других линий, тяготеют над нашим воображением... Совершенно ясно: должно быть найдено доказательство настоящей теоремы, а такое требование природе постулатов совершенно чуждо..." Что вы скажете на это?

Лобачевский крепко пожал его руку.

- Спасибо вам, герр профессор! - поблагодарил он учителя. - Разрешите выписать прочитанные вами фразы.

В них я нашел подтверждение собственной мысли.

- Тем паче вы должны разрубить этот гордиев узел.

И я благословляю вас! - улыбнулся Броннер. - Как бывший священник, хотя и отрекшийся.

Подумав, он добавил:

- Мне кажется, что главная цель молодого ученого - это приучить себя думать... Думать - значит неустанно направлять мысли на предмет исследования, иметь его в виду и ныне и завтра; говорить, писать, спорить о нем; подходить к нему с одной и с другой стороны, собрать все доводы в пользу того или другого мнения и справедливо их взвесить. Во-вторых, загляните в "Начала геометрии"

Лежандра. Не включает он в число аксиом постулата о параллельных линиях и в каждом новом издании дает вместо него то или другое доказательство, которое, однако, всякий раз оказывается неудовлетворительным. У вас, Николай Иванович, получится. Верю в это. Я с начала поиска на вашей стороне, потому что мне самому часто приходится размышлять о параллельных. Мы, физики, весьма заинтересованы в том, чтобы этот пятый постулат был доказан, ибо до сих пор некоторые наши теории висят в воздухе... Ну, как говорит ваша русская пословица, - ни пуха ни пера!

После ухода Броннера Лобачевский долго не мог успокоиться.

Да, предстоят упорные поиски! Не мог не прислушаться оп к грозному предостережению Бартельса. Хотя и сам знал, что лучшие математики мира издавна ломали голову над неуловимым доказательством пятого постулата. И не имели успеха. Но, может, именно здесь найдется ключ к познанию сокровенной тайны аксиом, в которую так упорно стремился проникнуть? Рассуждая таким образом, Лобачевский вспомнил магистерский труд Симонова "Об определении суточного движения Солнца через наблюдение пятен, на оном находящихся".

Темные пятна! Их наблюдали еще в глубокой древности, когда и телескопа не было. Казались они временными островами в огненном, бушующем на Солнце море.

Сущность пятен этих оставалась неизвестной, и тем не менее Галилей благодаря им открыл, что Солнце вращается вокруг своей оси.

Чем черт не шутит! Может, и пятый постулат, "пятно геометрии", позволит проникнуть в ее тайну? Не зря же с древних времен взоры всех мыслителей прикованы к этому "пятну".

И снова Лобачевский вернулся к загадочным словам:

"Не будет начал, если треугольник не будет иметь два прямых угла... причина сей вечности лежит в другом..."

"А в чем же именно, в чем коренится такая причинная связь? - Аристотель ответа не дает. Как доказать, не пользуясь постулатом о параллельных, теорему о равенстве суммы внутренних углов треугольника двум прямым?" спрашивает себя Лобачевский.

В памяти всплывают знакомые слова: "Сумма трех углов треугольника не может быть больше двух прямых".

Так писал в своей книге Лежандр.

Николай поспешно разыскал в шкафу старое издание "Начал геометрии", которым пользовался еще в гимназии.

Лежандр ставил задачу прийти к теореме о сумме углов треугольника строгим рассуждением, исходя из предложений "Начал" Евклида, вывод которых не опирается на пятый постулат. С такой целью он прежде всего устанавливает ряд теорем, которыми исключается возможность, что сумма внутренних углов треугольника может быть больше двух прямых, и отделяет друг от друга две другие гипотезы: 1) что сумма равна 180° или 2) что меньше она двух прямых углов.