ГЕОМЕТРИЯ ОТ ПИФАГОРА

Геометрия - это устное сообщение (IУTOPIA) Пифагора, целиком исходившее от него. Он учился геометрии у египтян, которые занимались ею с древних времен.

Пифагор считал геометрию необходимой для философов. Ибо разумная часть души нуждается в математическом образовании как средстве, уводящем разум от творимых богами вещей к вечным сущностям, так как эти сущности находятся в самом боге и с ним и вокруг него.

Он учил, что из монады и диады гипостазировались числа, из чисел точки, из точек - линии, из линий - плоские фигуры, из плоских - телесные фигуры, данные в ощущениях.

Пифагор одни геометрические проблемы впервые доставил из Египта, другие открыл сам. Все семнадцать теорем Евклида60 исходят от Пифагора.

Пифагор открыл теорему: "в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (YРOTENOYУA) равен сумме квадратов катетов (КАТНТО?)". В благодарность за ее открытие он принес богам в жертву быка, слепленного из пшеничного теста.

Пифагору принадлежит постановка трех знаменитых математических проблем его школы. Эти проблемы таковы:

1. Трисекция угла, то есть разделение любого заданного угла на три части.

2. Усвоение куба, то есть определение ребра такого куба, который имел бы объем, вдвое больший объема заданного куба ("делийская проблема").

3. Квадратура круга, то есть нахождение такого квадрата, площадь которого была бы равна площади данного круга.

Пифагором открыта и одна из замечательных теорем, вернее проблем, заключающаяся в построении по двум заданным фигурам третьей, равной по площади одной из заданных и подобной другой. Передают, что, найдя решение этой задачи, Пифагор принес благодарственную жертву и полагал это решение более исполненной Муз.

"Во всяком треугольнике, при продолжении одной из сторон, внешний угол равен двум внутренним и противолежащим, а три внутренних угла треугольника вместе равны двум прямым углам" - теорема, открытая пифагорейцами.

Открытия параболы (ПАРАВО?Н, "приложения"), гиперболы (?ПЕРВО?Н) и эллипса (Е?ЛШОУ) площадей - древние и принадлежат Музе пифагорейцев61. Когда данная площадь, построенная на данной прямой, совпадает с прямой на всей протяженности, тогда эта площадь "прикладывается" (образует параболу) к прямой; когда длина площади получится больше самой прямой, тогда она образует гиперболу; а когда меньше, так что после построения площади некий отрезок прямой остается вне ее, тогда она "образует эллипс".

Парадоксальная теорема Пифагора: "только три многоугольника могут заполнить все пространство вокруг одной точки: равносторонний треугольник, квадрат и равносторонний и равноугольный шестиугольник". Названные фигуры заполняют это пространство так: равносторонний треугольник, взятый шесть раз, так как две трети прямого угла на шесть будет четыре прямых; шестиугольник - три раза, так как каждый угол шестиугольника равен одному прямому с третью, а квадрат - четыре раза, так как каждый угол квадрата прямой. Таким образом, пространство заполняют шесть равносторонних треугольников, сходясь углами в одной вершине, или три шестиугольника, или четыре квадрата. Любые другие многоугольники, как их ни прикладывай углами, дают в сумме либо меньше четырех прямых, либо больше, и только эти, согласно указанным числам, составляют ровно четыре прямых.

Он открыл развертывание потенций линий шара, исходящих из одной точки (ДYNAMEЩУ АПО?Е?EIУ). Монада в геометрии Пифагора выражается одной точкой центром сферы. Прекраснейшей из телесных фигур он считал шар (УФА?РА).

Пифагор открыл, что периметр круга не равен трем диаметрам, как считали многие, а больше трех, и что круг, вписанный в треугольник, равен трем четвертым треугольника. Периметр круга он определил в три целых и одну седьмую его диаметра, вычислив таким образом одно из важнейших иррациональных чисел62.

Пифагор открыл тайну симметрии и асимметрии.

Он познал правильный октаэдр и додекаэдр, который считал сутью кристаллов пирита, что находят в Италии.

Пифагор открыл тайну построения двадцати-угольника, то есть двенадцатигранника, одной из пяти объемных фигур, которые можно вписать в форму сферы.

Пифагор описал правила построения объемных фигур, определения площадей и объемов для шара, цилиндра, конуса, пирамиды, усеченной пирамиды, куба, параллелепипеда, ромба.

Он же обнаружил рациональный треугольник - эпитрит со сторонами в 3, 4 и 5 частей. Согласно некоторым свидетельствам, Пифагор узнал о нем от египетских гарпедонаптов63, которые строили прямые углы с помощью веревки, имевшей три, и четыре, и пять (всего двенадцать) узлов.

Пифагор искал геометрическое среднее единицы и двойки. Это привело его к изучению отношений сторон и диагонали квадрата. Так он обнаружил, что такое отношение не выражается рациональным числом.

Пифагор изобрел изощренные геометрические спирали. Спираль, вычисленная Пифагором, графически изображает ряд чисел, в котором каждое последующее число есть сумма двух предыдущих (т. е. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 и т. д.). Соотношение двух соседних чисел между собой дает иррациональное число (3 к 2, 5 к 3, 8 к 3, 13 к 8 и т. п.). При этом по мере возрастания чисел в ряду соотношение между ними ближе к наиболее полному значению этого отношения. Это единственное иррациональное число, квадрат которого равен ему с добавлением единицы, а рациональность которого возрастает по мере увеличения чисел в пропорции. Эта пропорция была названа Пифагором божественной, ибо она выражает сокровенные глубинные соответствия, присущие эволюции космоса. Спираль, построенная Пифагором, есть символ движения, развития и развертывания вселенной. Пифагор открыл также, что пропорция, лежащая в основе логарифмической спирали, возникает в пятиугольных формах симметрии, в Пентагоне и в пятиконечной звезде, избранных в свое время символами Пифагорейского тайного союза64.

Каждая линия пятиконечной звезды рассекается другой на две части так, что меньшая часть соотносится с большей в пропорции, в какой большая часть соотносится с целой линией.

Открытую божественную числовую пропорцию Пифагор использовал первым для построения прямоугольника со сторонами, относящимися как 5 к 3, 8 к 5 или 13 к 8. Он же обнаружил видимую гармонию золотого сечения и разработал науку о зрительных восприятиях видимых фигур (Н ОПТЙКН ИEЩPIA).

Пифагорейцы усовершенствовали угломерный прибор65 для измерения высоты отдаленных предметов (Н ?ЙППТРА). Им же принадлежит разработка учения о визировании66 (ТА ?ЙППТР?КА).

КОММЕНТАРИИ

1 Математические науки - современное понимание этого определения значительно отличается от его первоначального значения - "науки учеников Пифагора, допущенных к прямому собеседованию с ним" (от др.-греч. ц,аходбс, "урок, учебное задание").

2 Гиперион - титан, олицетворяющий мужскую часть энергии видимого с земли Солнца. Часто это имя использовалось для обозначения Аполлона.

3 Тея - титанида, олицетворяющая женскую часть энергии Солнца, супруга Гипериона.

4 Гелиос - сын Гипериона и Теи, божество, олицетворяющее видимый солнечный диск.

5 Селена - дочь Гипериона и Теи, сестра Гелиоса, божество, олицетворяющее отраженный Луной солнечный свет.

6 Эос - дочь Гипериона и Теи, богиня утренней зари.

7 Гемера - дочь Гипериона и Теи, богиня светового дня.

8 Геспера - богиня вечерней зари.

9 Нике - богиня ночи.

10 Эрот-Фанет - божество вселенского влечения, приведшее космос в движение.

11 Гея (Хтония) - божество Земли, как вещественной, твердой субстанции, данной в ощущениях.

12 Феба - титанида, олицетворяющая женскую часть энергии Луны.

13 Атлант - титан, олицетворяющий мужскую часть энергии Луны.

14 Лето - дочь Фебы и Коя, мать Аполлона и Артемиды.

15 Астерия - дочь Фебы и Коя, сестра Лето, мать Гекаты.

16 Геката - божество ночных страхов, видений и призраков.

17 Артемида - богиня-предводительница тайных женских союзов.