Умножение

Умноже'ние, операция образования по двум данным объектам а и b, называемым сомножителями, третьего объекта с, называемого произведением. У. обозначается знаком Х (ввёл англ. математик У. Оутред в 1631) или • (ввёл нем. учёный Г. Лейбниц в 1698); в буквенном обозначении эти знаки опускаются и вместо а ´ b или а • b пишут ab. У. имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения. У. целых положительных чисел есть, по определению, действие, относящее числам а и b третье число с, равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а, так что ab = а + а +... + а (b слагаемых). Число а называется множимым, b – множителем. У. дробных чисел

 и  определяется равенством   (см. Дробь ). У. рациональных чисел даёт число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющее знак плюс (+), если оба сомножителя одинакового знака, и знак минус (–), если они разного знака. У. иррациональных чисел определяется при помощи У. их рациональных приближений. У. комплексных чисел , заданных в форме a = а + bi и b = с + di, определяется равенством ab = ac – bd + (ad + bc ) i. При У. комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:

  a = r₁ (cosj₁ + i sin j₁ ),

  b = r₂ (cosj₂ + i sin j₂ ),

  их модули перемножаются, а аргументы складываются:

  ab = r₁r₂ {cos (j₁ + j₂ ) + i sin ((j₁ + j₂ )}.

  У. чисел однозначно и обладает следующими свойствами:

  1) ab = ba (коммутативность, переместительный закон);

  2) a (bc ) = (ab ) c (ассоциативность, сочетательный закон);

  3) a (b + c ) = ab + ac (дистрибутивность, распределительный закон). При этом всегда а ×0 = 0; a× 1 = а. Указанные свойства лежат в основе обычной техники У. многозначных чисел.

  Дальнейшее обобщение понятия У. связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Например, комплексному числу r (cosj + i sin j) соответствует оператор растяжения всех векторов в r раз и поворота их на угол j вокруг начала координат. При этом У. комплексных чисел отвечает У. соответствующих операторов, т. е. результатом У. будет оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение У. операторов переносится и на другие виды операторов, которые уже нельзя выразить при помощи чисел (например, линейные преобразования). Это приводит к операциям У. матриц, кватернионов, рассматриваемых как операторы поворота и растяжения в трёхмерном пространстве, ядер интегральных операторов и т.д. При таких обобщениях могут оказаться невыполненными некоторые из перечисленных выше свойств У., чаще всего – свойство коммутативности (некоммутативная алгебра). Изучение общих свойств операции У. входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.

Умножитель частоты

Умножи'тель частоты', электронное (реже электромагнитное) устройство, предназначенное для увеличения в целое число раз частоты подводимых к нему периодических электрических колебаний. Отношение f_вых /f_вх (f_вх и f_вых – частоты колебаний соответственно на входе и выходе У. ч.) называется коэффициента умножения частоты m (m ³ 2 ; может достигать нескольких десятков). Характерная особенность У. ч. – постоянство т при изменении (в некоторой конечной области) f_вх, а также параметров У. ч. (например, резонансных частот колебательных контуров или резонаторов , входящих в состав У. ч.). Отсюда следует, что если f_вх по каким-либо причинам получила приращение Df_вх (достаточно малое), то приращение Df_вых частоты f_вых таково, что Df_вх /f_вх = Df_вых /f_вых , т. е. относительная нестабильность частоты колебаний при умножении остаётся неизменной. Это важное свойство У. ч. позволяет использовать их для повышения частоты стабильных колебаний (обычно получаемых от кварцевого задающего генератора ) в различных радиопередающих, радиолокационных, измерительных и др. установках.

  Наиболее распространены У. ч., состоящие из нелинейного устройства (например, транзистора , варактора, или варикапа , катушки с ферритовым сердечником; электронной лампы ) и электрического фильтра (одного или нескольких). Нелинейное устройство изменяет форму входных колебаний, вследствие чего в спектре колебаний на его выходе появляются составляющие с частотами, кратными f_вх . Эти сложные колебания поступают на вход фильтра, который выделяет составляющую с заданной частотой mf_вх, подавляя (не пропуская) остальные. Поскольку такое подавление в реальных фильтрах не является полным, на выходе У. ч. остаются нежелательные (т. н. побочные) составляющие, т. е. гармоники с номерами, отличными от m. Задача облегчается, если нелинейное устройство порождает практически только m- ю гармонику f_вх , – в этом случае иногда обходятся без фильтра (известны подобные У. ч. на туннельных диодах и специальных электроннолучевых приборах). При m > 5 бывает энергетически выгоднее использовать многокаскадные У. ч. (в них выходные колебания одного каскада служат входными для другого).

  Находят применение также У. ч., действие которых основано на синхронизации автогенератора (см. Генерирование электрических колебаний ). В последних возбуждаются колебания с частотой f = mf_вх, которая становится в точности равной mf_вх под действием поступающих на его вход колебаний с частотой f_вх. Недостаток таких У. ч. – сравнительно узкая полоса значений f_вх , при которых возможна синхронизация. Кроме указанных, некоторое распространение получили радиоимпульсные У. ч., в которых на вход электрического фильтра подаются радиоимпульсы определённой формы, вырабатываемые под действием входных колебаний с частотой f_вх.

  Основная проблема при создании У. ч. – уменьшение фазовой нестабильности выходных колебаний (обусловленной случайным характером изменения их фазы), приводящей к увеличению относительной нестабильности частоты на выходе по сравнению с соответствующей величиной на входе. Строгий расчёт У. ч. связан с интегрированием нелинейных дифференциальных уравнений.

  Лит.: Жаботинский М. Е., Свердлов Ю. Л., Основы теории и техники умножения частоты, М., 1964; Ризкин И. Х., Умножители и делители частоты, М., 1966; Бруевич А. Н., Умножители частоты, М., 1970; Радиопередающие устройства на полупроводниковых приборах, М., 1973.

  И. Х. Ризкин.

Умов Николай Алексеевич

У'мов Николай Алексеевич [23.1(4.2).1846, Симбирск, ныне Ульяновск, – 15(28).1.1915, Москва], русский физик. Родился в семье военного врача. По окончании Московского университета (1867) оставлен в нём для подготовки к профессорскому званию. С 1871 доцент, с 1875 профессор Новороссийского университета в Одессе. С 1893 профессор Московского университета, при котором основал физический институт. В 1911 ушёл из университета в знак протеста против реакционных действий министра просвещения Л. А. Кассо. В последние годы жизни вёл экспериментальную работу в лаборатории Московского технического училища. Первые исследования (1870–72) посвящены теории колебательных процессов в упругих средах, которую У. распространил на термомеханические явления в этих средах. В 1873–1874 опубликовал работы о движении энергии, в которых развил представления о плотности энергии в данной точке и скорости движения энергии, ввёл понятие плотности потока энергии (Умова вектор ). В 1875 предложил общее решение задачи о распределении электрических токов на проводящих поверхностях произвольного вида. В 1888–91 экспериментально изучал диффузию в водных растворах, затем эффекты, связанные с рассеянием света в мутных средах. Открыл эффект хроматической деполяризации лучей света, падающих на матовую поверхность. В 1902–04 выполнил исследования по теории земного магнетизма. Большое значение имела научно-пропагандистская деятельность У. в качестве лектора, автора научно-популярных статей и активного член научных обществ (в т. ч. Московского общества испытателей природы, президентом которого У. был с 1897).