(i , k = 0, 1, 2, 3), где x ¹, x ², x ³— произвольные пространств, координаты, x = ct — временная координата (здесь и далее по дважды встречающимся индексам производится суммирование). С физической точки зрения переход к произвольным координатам означает и переход от инерциальной системы отсчёта к системе, вообще говоря, движущейся с ускорением (причём в общем случае разным в разных точках), деформирующейся и вращающейся, и использование в этой системе не декартовых пространственных координат. Несмотря на кажущуюся сложность использования таких систем, практически они иногда оказываются удобными. Но в специальной теории относительности всегда можно пользоваться и галилеевой системой, в которой интервал записывается особенно просто. [В этом случае в формуле (8) g_ik= 0 при i ¹ k, g₀₀ = 1, g_ii = —1 при i = 1, 2, 3.]

  В общей теории относительности пространство-время не плоское, а искривленное. В искривленном пространстве-времени (в конечных, не малых, областях) уже нельзя ввести декартовы координаты, и использование криволинейных координат становится неизбежным. В конечных областях такого искривленного пространства-времени ds² записывается в криволинейных координатах в общем виде (8). Зная g_ik как функции четырёх координат, можно определить все геометрические свойства пространства-времени. Говорят, что величины g_ik определяют метрику пространства-времени , а совокупность всех g_ik называют метрическим тензором. С помощью g_ik вычисляются темп течения времени в разных точках системы отсчёта и расстояния между точками в трёхмерном пространстве. Так, формула для вычисления бесконечно малого интервала времени d t по часам, покоящимся в системе отсчёта, имеет вид:

 

  При наличии поля Т. величина g₀₀ в разных точках разная, следовательно, темп течения времени зависит от поля Т. Оказывается, что чем сильнее поле, тем медленнее течёт время по сравнению с течением времени для наблюдателя вне поля.

  Математическим аппаратом, изучающим неевклидову геометрию (см. Риманова геометрия ) в произвольных координатах, является тензорное исчисление . Общая теория относительности использует аппарат тензорного исчисления, её законы записываются в произвольных криволинейных координатах (это означает, в частности, запись в произвольных системах отсчёта), как говорят, в ковариантном виде.

  Основная задача теории Т.— определение гравитационного поля, что соответствует в теории Эйнштейна нахождению геометрии пространства-времени. Эта последняя задача сводится к нахождению метрического тензора g_ik.

  Уравнения тяготения Эйнштейна связывают величины g_ik с величинами, характеризующими материю, создающую поле: плотностью, потоками импульса и т.п. Эти уравнения записываются в виде:

 

. (9)

  Здесь R_ik — так называемый тензор Риччи, выражающийся через g_ik ,  его первые и вторые производные по координатам; R = R_ik g ^ik (величины g ^ik определяются из уравнений g_ikg ^km =

, где  — Кронекера символ ); T_ik — так называемый тензор энергии-импульса материи, компоненты которого выражаются через плотность, потоки импульса и др. величины, характеризующие материю и её движение (под физической материей подразумеваются обычное вещество, электромагнитное поле, все др. физические поля).

  Вскоре после создания общей теории относительности Эйнштейн показал (1917), что существует возможность изменения уравнений (9) с сохранением основных принципов новой теории. Это изменение состоит в добавлении к правой части уравнений (9) так называемого «космологического члена»: Lg_ik. Постоянная L, называется «космологической постоянной», имеет размерность см^-2. Целью этого усложнения теории была попытка Эйнштейна построить модель Вселенной, которая не изменяется со временем (см. Космология ). Космологический член можно рассматривать как величину, описывающую плотность энергии и давление (или натяжение) вакуума. Однако вскоре (в 20-х гг.) советский математик А. А. Фридман показал, что уравнения Эйнштейна без L-члена приводят к эволюционирующей модели Вселенной, а американский астроном Э. Хаббл открыл (1929) закон так называемого красного смещения для галактик, которое было истолковано как подтверждение эволюционной модели Вселенной. Идея Эйнштейна о статической Вселенной оказалась неверной, и хотя уравнения с L-членом тоже допускают нестационарные решения для модели Вселенной, необходимость в L-члене отпала. После этого Эйнштейн пришёл к выводу, что введение L-члена в уравнения Т. не нужно (то есть что L = 0). Не все физики согласны с этим заключением Эйнштейна. Но следует подчеркнуть, что пока нет никаких серьёзных наблюдательных, экспериментальных или теоретических оснований считать L отличным от нуля. Во всяком случае, если L ¹ 0, то, согласно астрофизическим наблюдениям, его абсолютная величина чрезвычайно мала: |L| < 10^-55см^-2. Он может играть роль только в космологии и практически совершенно не сказывается во всех др. задачах теории Т. Везде в дальнейшем будет положено L = 0.

  Внешне уравнения (9) подобны уравнению (4) для ньютоновского потенциала. В обоих случаях слева стоят величины, характеризующие поле, а справа — величины, характеризующие материю, создающую поле. Однако уравнения (9) имеют ряд существенных особенностей. Уравнение (4) линейно и поэтому удовлетворяет принципу суперпозиции. Оно позволяет вычислить гравитационный потенциал j для любого распределения произвольно движущихся масс. Ньютоновское поле Т. не зависит от движения масс, поэтому уравнение (4) само не определяет непосредственно их движение. Движение масс определяется из второго закона механики Ньютона (6). Иная ситуация в теории Эйнштейна. Уравнения (9) не линейны, не удовлетворяют принципу суперпозиции. В теории Эйнштейна нельзя произвольным образом задать правую часть уравнений (T_ik ), зависящую от движения материи, а затем вычислить гравитационное поле g_ik . Решение уравнений Эйнштейна приводит к совместному определению и движения материи, создающей поле, и к вычислению самого поля. Существенно при этом, что уравнения поля Т. содержат в себе и уравнения движения масс в поле Т. С физической точки зрения это соответствует тому, что в теории Эйнштейна материя создаёт искривление пространства-времени, а это искривление, в свою очередь, влияет на движение материи, создающей искривление. Разумеется, для решения уравнений Эйнштейна необходимо знать характеристики материи, которые не зависят от гравитационных сил. Так, например, в случае идеального газа надо знать уравнение состояния вещества — связь между давлением и плотностью.

  В случае слабых гравитационных полей метрика пространства-времени мало отличается от евклидовой и уравнения Эйнштейна приближённо переходят в уравнения (4) и (6) теории Ньютона (если рассматриваются движения, медленные по сравнению со скоростью света, и расстояния от источника поля много меньше, чем l =с t, где t — характерное время изменения положения тел в источнике поля). В этом случае можно ограничиться вычислением малых поправок к уравнениям Ньютона. Эффекты, соответствующие этим поправкам, позволяют экспериментально проверить теорию Эйнштейна (см. ниже). Особенно существенны эффекты теории Эйнштейна в сильных гравитационных полях.