Всякое движение, переводящее в себя решётку L и оставляющее на месте её точку О , преобразует в себя область D_o L и обратно. Группу всех таких движений называют голоэдрией решётки. Их всего семь: кубическая, ромбоэдрическая, квадратная (или тетрагональная), ортогональная (или ромбическая), моноклинная, триклинная и гексагональная.

  Кристаллографические многогранники. Каждая из семи рассмотренных групп имеет подгруппы, всех различных таких групп и их подгрупп 32; их называют кристаллографическими классами. Пусть какой-нибудь кристаллографический класс есть подгруппа некоторой голоэдрии, тогда говорят, что он принадлежит этой голоэдрии (или входит в состав её сингонии), если этот класс не является подгруппой никакой голоэдрии, содержащейся в данной. Если взять плоскость, не проходящую через точку О , и подвергнуть её всем поворотам какого-нибудь кристаллографического класса, то полученные плоскости ограничивают либо некоторый изоэдр с центром в точке, либо бесконечное выпуклое призматическое тело, либо многогранный угол. Полученные тела называются простыми формами кристаллов, в первом случае замкнутыми, во втором и третьем — открытыми. Две простые формы считают одинаковыми, если они имеют один и тот же комбинаторный тип, порождены одним и тем же кристаллографическим классом и повороты этого класса одинаковым образом связаны с формой. Существует 30 различных в этом смысле замкнутых форм и 17 открытых, каждая из них имеет вполне определённое название (см. Кристаллы ).

  Основываясь на первом (указанном в начале статьи) определении М., можно указать ещё четыре правильных невыпуклых многогранника (т. н. тела Пуансо), впервые найденных французским математиком Л. Пуансо в 1809. Доказательство несуществования других невыпуклых правильных М. дал французский математик О. Коши в 1811. В этих М. либо грани пересекают друг друга, либо сами грани — самопересекающиеся многоугольники. Для изучения вопросов, связанных с площадями поверхностей и объёмами таких М., удобно пользоваться именно первым определением М.

  Если у М. можно так ориентировать грани, чтобы каждое ребро в тех двух гранях, которые смежны по этому ребру, имело бы обратные направления, то его называют ориентируемым, в противном случае — неориентируемым. Для ориентируемого М. (даже если он самопересекающийся и его грани — самопересекающиеся многоугольники) можно ввести понятия площади поверхности и величины объёма. Площадью ориентируемого М. называют просто сумму площадей его граней (об определении площади самопересекающегося многоугольника см. Многоугольник ). Для определения объёма надо заметить, что совокупность внутренних кусков граней М. разрезает пространство на определённое число связных кусков, из которых один по отношению к М. бесконечный (внешний), а остальные конечные (внутренние). Если из внешней по отношению к М. точки провести отрезок в какую-либо внутреннюю точку внутреннего куска, то сумму «коэффициентов» тех внутренних кусков граней М., которые пересечёт этот отрезок, называют коэффициентом рассматриваемого внутреннего куска М. (она не зависит от выбора внешней точки О ); такой коэффициент есть целое положительное, отрицательное число или нуль. Сумму обычных объёмов всех внутренних кусков М., умноженных на эти их коэффициенты, называют объёмом М.

  Можно рассматривать и n -мерные М. Некоторые из указанных определений и теорем имеют n -мерное обобщение. В частности, найдены все выпуклые правильные М.; при n = 4 их оказалось 6, а при всех больших n всего три: обобщение тетраэдра, куба и октаэдра. В то же время, например, неизвестны все четырёхмерные изоэдры и изогоны.

  Примеры нерешенных задач теории многогранников.

  1) Немецкий математик Э. Штейниц дал примеры того, что не для всякого топологического типа сетки рёбер выпуклого М. существует М., который можно описать вокруг шара; в общем виде задача не решена.

  2) Параллелоэдры суть выпуклые основные области групп параллельных переносов, но до сих пор не определены основные типы стереоэдров, т. е. выпуклых основных областей произвольных (федоровских) дискретных групп движений. 3) Определение всех типов четырёхмерных изоэдров.

  Лит.: Фёдоров Е. С., Начала учения о фигурах, СПБ, 1885; Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М. — Л., 1950; Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952; Brückner М., Vielecke und Vielflache. Theorie und Geschichte, Lpz., 1900; Steinitz E., Vorlesungen liber die Theorie der Polyeder unter Einschiuss der Elemente der Topologie..., B., 1934; Coxeter H. S. М., Regular polytopes, 2 ed., L. — N. Y., 1963.

  Б. Н. Делоне.

Правильные невыпуклые многогранники (тела Пуансо).

Полуправильные многогранники (тела Архимеда).

Рис. к ст. Многогранник.

Полуправильные многогранники (тела Архимеда).

Правильные выпуклые многогранники (тела Платона).

Выпуклые параллелоэдры (тела Фёдорова).

Многогра'нный у'гол, часть пространства, ограниченная одной полостью многогранной конической поверхности, направляющая которой — плоский многоугольник без самопересечений. Грани этой поверхности называются гранями М. у., вершину — вершиной М. у. М. у. называют правильным, если равны все его линейные углы и все его двугранные углы. Мерой М. у. является площадь, ограниченная сферическим многоугольником полученным пересечением граней М. у., сферой с радиусом, равным единице, и с центром в вершине М. у. См. также Телесный угол .

Рис. к ст. Многогранный угол.

Многогре'шный Демьян Игнатович (умер не ранее 1696), гетман Левобережной Украины в 1668—72. Выходец из народа. Активный участник Освободительной войны украинского народа 1648—54. В 1649 в чине генерального есаула подписал Зборовский договор 1649 . Став гетманом, М. проводил политику, угодную зажиточному казачеству. В 1670 участвовал в подавлении восстания казацкой и крестьянской бедноты под руководством И. Дзиковского. В 1672 был обвинён в тайных связях с Турцией, арестован и сослан в Иркутск вместе с женой и детьми. В 1688 освобожден. В 1696 постригся в монахи.

Многодви'гательный электроприво'д, группа электродвигателей, объединённых общей системой управления и приводящих в движение отдельные рабочие органы машины или установки (например, прокатных станов, бумагоделательных машин, комбинированных металлообрабатывающих станков, шагающих экскаваторов и т. и.). См. Электропривод .

Многоде'тные ма'тери, в трудовом законодательстве СССР — матери, имеющие 3 и более детей, для которых установлены определённые льготы. Женщинам, имеющим 2 детей, выплачивается единовременное пособие при рождении 3-го и каждого следующего ребёнка и ежемесячное пособие при рождении 4-го и каждого следующего ребёнка, начиная с достижения ребёнком одного года и до того времени, когда ему исполнится 5 лет. При назначении пособия учитываются как родные дети, так и усыновленные, а также дети мужа и усыновленные им дети, находящиеся на воспитании М. м. не позже чем с 12 лет (с учётом требований, установленных законом). М. м. предоставляются льготы по оплате содержания детей в детских садах и яслях (плата снижается на 25—50 %, с учётом количества детей и общего заработка родителей). Для М. м. установлены также льготы в области пенсионного обеспечения. Так, женщины, родившие 5 и более детей и воспитавшие их до 8-летнего возраста, имеют право на пенсию по старости по достижении 50 лет и при стаже работы не менее 15 лет, если они не имеют права на пенсию по старости в более раннем возрасте. Для М. м. учреждены специальные ордена и медали: «Мать-героиня», «Материнская слава», «Медаль материнства». Женщинам, родившим и воспитавшим 10 детей, присваивается почётное звание «Мать-героиня» с вручением ордена «Мать-героиня» и грамоты Верховного Совета СССР. См. также Звания почётные , Медали СССР , Ордена СССР .