2) Пусть Х — множество всех действительных чисел; если для каждого действительного числа x Î X положить у = f (x ) = x³ , то тем самым будет установлено отображение множества Х в себя.

  3) Пусть Х — множество всех действительных чисел; если для каждого х Î Х положить у = f (x ) = arctg х , то этим будет установлено отображение множества Х на интервал ( — p/2, p/2).

  (1—1)-соответствие между двумя множествами Х и Y есть такое отображение множества Х в множество Y , при котором каждый элемент множества Y является образом одного и только одного элемента множества X . Отображения примеров 2) и 3) взаимно однозначны, примера 1) — нет.

  Операции над множествами. Суммой, или объединением, двух, трёх, вообще произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех тех предметов, каждый из которых есть элемент хотя бы одного из данных множеств-слагаемых. Пересечением двух, трёх, вообще любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех элементов, общих всем данным множествам. Пересечение даже двух непустых множеств может быть пустым. Разностью между множеством В и множеством А называется множество всех элементов из В , не являющихся элементами из А : разность между множеством В и его частью А называется дополнением множества А в множестве В .

  Операции сложения и пересечения множеств удовлетворяют условиям сочетательности и переместительности (см. Ассоциативность , Коммутативность ). Операция пересечения, кроме того, распределительна по отношению к сложению и вычитанию. Эти действия обладают тем общим свойством, что если их производить над множествами, являющимися подмножествами одного и того же множества М , то и результат будет подмножеством множества М . Указанным свойством не обладает т. н. внешнее умножение множеств: внешним произведением множеств Х и Y называется множество Х ´ У всевозможных пар (х, у ), где х Î Х , y Î Y . Другим в этом смысле «внешним» действием является «возведение в степень»: степенью Y^X называется множество всех отображений множества Х в множество Y . Можно определить внешнее умножение любого множества множеств так, что в случае совпадения множителей оно перейдёт в возведение в степень. Если x и h мощности множеств Х и Y , то xh и h^x определяются соответственно как мощности множеств Х ´ Y и Y^Х , что в случае конечных множеств согласуется с умножением и возведением в степень натуральных чисел. Аналогично определяется сумма мощностей как мощность суммы попарно непересекающихся множеств с заданными мощностями.

  Упорядоченные множества. Установить в данном множестве Х порядок — значит установить для некоторых пар x', х" элементов этого множества какое-то правило предшествования (следования), выражаемое словами «элемент x' предшествует элементу х", x' < х" », или, что то же, «элемент x' следует за элементом х", x' < х" », причём предполагается выполненным условие транзитивности: если х < x' и x' < х", то х < х". Множество, рассматриваемое вместе с каким-нибудь установленным в нём порядком, называется «частично упорядоченным множеством»; иногда вместо «частично упорядоченное множество» говорят «упорядоченное множество» (Н. Бурбаки ). Однако чаще упорядоченным множеством называется такое частично упорядоченное множество, в котором порядок удовлетворяет следующим дополнительным требованиям («линейного порядка»): 1) никакой элемент не предшествует самому себе; 2) из всяких двух различных элементов х, x' один предшествует другому, т. е. или х < x' , или x’ < х .

  Примеры. 1) Всякое множество

, элементами которого являются некоторые множества х , является «частично упорядоченным ''по включению''»: х < x' , если х Ì x'.

  2) Любое множество функций f , определённых на числовой прямой, частично упорядочено, если положить f₁ < f₂ , тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа х имеем f₁ (x ) £ f₂ (x ).

  3) Всякое множество действительных чисел линейно упорядочено: меньшее из двух чисел считается предшествующим большему.

  Два упорядоченных множества называются подобными между собой, или имеющими один и тот же порядковый тип, если между ними можно установить (1—1)-соответствие, сохраняющее порядок. Элемент упорядоченного множества называется первым, если он предшествует в этом упорядоченном множестве всем остальным элементам; аналогично определяется и последний элемент. Примеры: в упорядоченном множестве всех действительных чисел нет ни первого, ни последнего элемента; в упорядоченном множестве всех неотрицательных чисел нуль есть первый элемент, а последнего элемента нет; в упорядоченном множестве всех действительных чисел x , удовлетворяющих неравенствам а £ х £ b , число а есть первый элемент, b — последний.

  Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если оно само и всякое его правильное подмножество имеют первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми, или ординальными, числами. Если вполне упорядоченное множество конечно, то его порядковое число есть обычное порядковое число элементарной арифметики. Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами .

  Точечные множества. Теория точечных множеств, т. е. в первоначальном понимании слова — теория множеств, элементами которых являются действительные числа (точки числовой прямой), а также точки двух-, трёх- и вообще n -мерного пространства, основана Г. Кантором, установившим понятие предельной точки множества и примыкающие к нему понятия замкнутого множества и др. Дальнейшее развитие теории точечных множеств привело к понятиям метрического пространства и топологического пространства , изучением которых занимается общая топология . Наиболее самостоятельное существование ведёт дескриптивная теория множеств. Основанная французскими математиками Р. Бэром и А. Лебегом в связи с классификацией разрывных функций (1905), дескриптивная М. т. началась с изучения и классификации т. н. борелевских множеств (B -множеств). Борелевские множества определяются как множества, могущие быть построенными, отправляясь от замкнутых множеств, применением операций сложения и пересечения в любых комбинациях, но каждый раз к конечному или к счётному множеству множеств. А. Лебег показал, что те же множества — и только они — могут быть получены как множества точек, в которых входящая в Бэра классификацию действительная функция f (x ) обращается в нуль или, более общо, удовлетворяет условию вида а < f (x ) £ b . Дальнейшее развитие дескриптивной М. т. было осуществлено преимущественно русскими и польскими математиками, особенно московской школой, созданной Н. Н. Лузиным (П. С. Александров, М. Я. Суслин, М. А. Лаврентьев, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков). Александров доказал теорему (1916) о том, что всякое несчётное борелевское множество имеет мощность континуума. Аппарат этого доказательства был применен Суслиным для построения теории А -множеств, охватывающих как частный случай борелевские (или В -) множества (считавшиеся до того единственными множествами, принципиально могущими встретиться в анализе). Суслин показал, что множество, дополнительное к А -множеству М , является само А -множеством только в том случае, когда множество М — борелевское (дополнение к борелевскому множеству есть всегда борелевское множество). При этом А -множества оказались совпадающими с непрерывными образами множества всех иррациональных чисел. Теория А -множеств в течение нескольких лет оставалась в центре дескриптивной М. т. до того, как Лузин пришёл к общему определению проективных множеств, которые могут быть получены, отправляясь от множества всех иррациональных чисел при помощи повторного применения операции вычитания и непрерывного отображения. К теории А -множеств и проективных множеств относятся также работы Новикова и др. Дескриптивная М. т. тесно связана с исследованиями по основаниям математики (с вопросами эффективной определимости математических объектов и разрешимости математических проблем).