Если в окрестности точки (х, у) для уравнения (Б) выполнены условия единственности, то все интегральные кривые, проходящие через достаточно малую окрестность точки (x, у), пересекают вертикальную прямую х = х и определяются ординатой у = С своей точки пересечения с этой прямой (см. рис. 6). Т. о., все эти решения содержатся в семействе с одним параметром С:
y (x) = F (x, C),
которое является общим решением Д. у. (Б).
В окрестности точек, в которых нарушаются условия единственности, картина может быть сложнее. Весьма сложен и вопрос о поведении интегральных кривых «в целом», а не в окрестности точки (x, у).
Общий интеграл. Особые решения. Естественно поставить обратную задачу: задано семейство кривых, зависящих от параметра С, требуется найти Д. у., для которого кривые заданного семейства служили бы интегральными кривыми. Общий метод для решения этой задачи заключается в следующем: считая семейство кривых на плоскости хОу заданным при помощи соотношения
F (x, y, C) = 0, (6)
дифференцируют (6) при постоянном С и получают
или в симметричной записи
и из двух уравнений (6) и (7) или (6) и (8) исключают параметр С. Если данное Д. у. получается таким образом из соотношения (6), то это соотношение называется общим интегралом заданного Д. у. Одно и то же Д. у. может иметь много различных общих интегралов. После нахождения для заданного Д. у. общего интеграла оказывается необходимым, вообще говоря, ещё исследовать, не имеет ли Д. у. дополнительных решений, не содержащихся в семействе интегральных кривых (6).
Пусть, например, задано семейство кривых
(х -С)3 - у = 0. (9)
Дифференцируя (9) при постоянном С получают
3(х - С)2 - у' = 0,
после же исключения С приходят к Д. у.
27y2 - (y ')3 = 0, (10)
равносильному уравнению (4). Легко видеть, что кроме решений (9), уравнение (10) имеет решение
y º 0. (11)
Решение уравнения (10) самого общего вида таково:
где -¥ £ C1 £ C2 £ +¥ (рис. 7). Оно зависит от двух параметров C1 и C2, но составляется из кусков кривых однопараметрического семейства (9) и куска особого решения (11).
Решение (11) уравнения (10) может служить примером особого решения Д. у. В качестве другого примера можно рассмотреть семейство прямых
4(у - Cx) + C2= 0. (12)
Эти прямые являются интегральными кривыми Д. у.
4(у - ху') + (у')2 = 0.
Особой же интегральной кривой этого Д. у. служит парабола
х2 - у = 0,
огибающая прямые (12) (рис. 8). Картина, наблюдавшаяся в рассмотренном примере, типична; особые интегральные кривые обычно являются огибающими семейства интегральных кривых, получаемых из общего решения.
Дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений. Д. у. n-го порядка с одной неизвестной функцией у (х) независимого переменного х записывают так:
F (х, у, y', у", ..., y(n-1), y(n)) = 0. (13)
Если ввести дополнительные неизвестные функции
y1 = y', y2 = y", ..., yn-1 = y (n-1), (14)
то уравнение (13) можно заменить системой из n уравнений с n неизвестными функциями, но зато 1-го порядка. Для этого достаточно к n - 1 уравнениям (14) присоединить уравнение
F (x, у, y1, у2, ..., yn-1, y'n-1) = 0.
Аналогичным образом сводятся к системам уравнений 1-го порядка и системы уравнений высших порядков. В механике сведение систем уравнений 2-го порядка к системе из удвоенного числа уравнений 1-го порядка имеет простой механический смысл. Например, система трёх уравнений движения материальной точки
mx" = p (x, y, z), my" = Q (x, у, z),
mz" = R (x, у, z),
где х, у, z — координаты точки, зависящие от времени t, сводится к системе шести уравнений:
mu' = р (х, у, z), mv' = Q (x, у, z),
nw' = R (x, у, z), u = х', v = y', w = z'
при помощи введения в качестве новых переменных составляющих u, v, w скорости.
Наибольшее значение имеют системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных функций. Система из n уравнений 1-го порядка с n неизвестными функциями, разрешённая относительно производных, имеет вид:
Решением системы Д. у. (а) называется система функций x1(t), x2(t), ..., xn (t), которая при подстановке в уравнения (а) обращает их в тождества. Часто встречаются системы вида (а), в которых правые части не зависят от t. В этом случае изучение системы (а) в основном сводится к изучению системы из (n - 1)-го уравнения, которую целесообразно записывать в симметричной форме
не предрешая вопроса о том, от какого из переменных х1, x2,..., xn мыслятся зависящими остающиеся n - 1 переменных. Считая х = (x1, x2,..., xn) вектором, можно записать систему (а) в виде одного векторного уравнения:
что позволяет широко пользоваться при изучении систем (а) аналогией с теорией одного уравнения 1-го порядка вида (Б). В частности, оказывается, что для систем (а) сохраняют силу основные результаты относительно существования и единственности решения задачи с начальными условиями: если в окрестности точки (t, х1, x2, ..., xn) все функции Fi непрерывны по совокупности переменных t, x1, x2, ..., xn и имеют ограниченные производные по переменным x1, x2, ..., xn, то задание начальных значений xi (t) = xi, i = 1, 2, ..., n, определяет одно, вполне определённое, решение системы (а). Этим объясняется то, что, вообще говоря, решение систем из n уравнений 1-го порядка с n неизвестными функциями зависит от n параметров.
Для приведённых выше конкретных примеров Д. у. их общее решение удаётся выразить при помощи элементарных функций. Типы Д. у., допускающие такого рода решение, детально изучаются. Часто придерживаются более общей точки зрения, считая Д. у. «решённым», если искомая зависимость между переменными (и входящими в общее решение параметрами c1, c2, ...) может быть выражена при помощи элементарных функций и одной или нескольких операций взятия неопределённого интеграла («решение выражено в квадратурах»).
