где Dq — положительный электрический заряд, переносимый через сечение цепи за время Dt; скорость химической реакции определяется как предел

где DQ — изменение количества вещества за время Dt; вообще, производная по времени есть мера скорости процесса, применимая к самым разнообразным физическим величинам.

  Производную функции y = f (x) обозначают f' (x), у', dy/dx, df/dx или Df (х). Если функция y = f (x) имеет в точке х производную, то она определена как в самой точке x, так и в некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке x. Обратное заключение было бы, однако, неверным. Например, непрерывная в каждой точке функция

графиком которой служат биссектрисы первого и второго координатных углов, при х = 0 не имеет производной, т.к. отношение Dу/Dх не имеет предела при Dx ® 0: если Dх > 0, это отношение равно +1, а если Dx < 0, то оно равно -1. Более того, существуют непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке (см. Непрерывная функция).

  Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.

  Таблица формул и правил дифференцирования

  (C)´ = 0; (xⁿ)´ = nx^n-1;

  (a^х)´ = a^x ln a и (e^x)´ = e^x;

  (log_ax)´ = 1/x ln a и (ln x)´ = 1/x;

  (sin x)´ = cos x; (cos x)´ = – sin x;

  (tg x)´ = 1/cos²x; (ctg x)´ = – 1/sin²x;

  (arc tg x)´ = 1/(1 + x²).

  [f (x) ± g (x)]´ = f ´(x) ± g´(x);

  [Cf (x)]´ = Cf ´(x);

  [f (x) g (x)]´ = f´´(x) g (x) + f (x) g ´(x);

если y = f (u) и u = j(x), т. е. y = f [j(x)], то dy/dx = (dy/du)×(du/dx) = f¢ (u)j¢(x).

Здесь С, n и a — постоянные, a > 0. Эта таблица, в частности, показывает, что производная от всякой элементарной функции есть снова элементарная функция.

  Если производная f' (x), в свою очередь, имеет производную, то её называют второй производной функции у = f (x) и обозначают

  у", f" (x), d²y/dx², d²f/dx² или D²f (x).

Для прямолинейно движущейся точки вторая производная характеризует её ускорение.

  Аналогично определяются и производные более высокого (целого) порядка. Производная порядка n обозначается

  yⁿ, fⁿ (x), dⁿy/dxⁿ, dⁿf/dxⁿ или Dⁿf (x).

  Дифференциал. Функция у = f (x), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х, называется дифференцируемой в точке x, если её приращение

  Dy = f (x + Dx) - f (x)

можно записать в форме

  Dу = АDх + aDх,

где А = А (x), a = a(х, x) ® 0 при х ® x. В этом и только в этом случае выражение ADx называется дифференциалом функции f (x) в точке x и обозначается dy или df (x). Геометрически дифференциал (при фиксированном значении x и меняющемся приращении Dx) изображает приращение ординаты касательной, т. е. отрезок NT (см. рис.). Дифференциал dy представляет собой функцию как от точки х, так и от приращения Dх. Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, понимая под этим, что, при фиксированном х, dy есть линейная функция от Dх и разность Dy - dy есть бесконечно малая относительно Dx. Для функции f (x) º х имеем dx = Dх, т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому обычно пишут dy = Adx. Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного переменного y = f (x) имела в точке x дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f' (x), и справедливо равенство dy = f' (x) dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y = f (x) в точке с абсциссой x как предельное положение секущей является также такой прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки x примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А (х) = f' (x); запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f' (x), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f' (x) dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.

  Рассматриваются также дифференциалы высших порядков. На практике с помощью дифференциалов часто производят приближённые вычисления значений функции, а также оценивают погрешности вычислений. Пусть, например, надо вычислить значение функции f (x) в точке х, если известны f (x) и f' (x). Заменяя приращение функции её дифференциалом, получают приближённое равенство

  f (x₁) » f (x) + df (x) = f (x) + f' (x) (x₁ - x).

Погрешность этого равенства приближённо равна половине второго дифференциала функции, т. е.

  1/2 d²f = 1/2 f" (x)(x₁ – x)².

  Приложения. В Д. и. устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами Д. и. К их числу относятся Ролля теорема, формула Лагранжа f (a) — f (b) = f' (c)(b — а), где a < с < b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.

  Эти предложения позволяют методами Д. и. провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Таким путём удаётся исследовать степень гладкости, выпуклость и вогнутость, возрастание и убывание функций, их экстремумы, найти их асимптоты, точки перегиба (см. Перегиба точка), вычислить кривизну кривой, выяснить характер её особых точек и т.д. Например, условие f' (x) > 0 влечёт за собой (строгое) возрастание функции у = f (x), а условие f" (x) > 0 — её (строгую) выпуклость. Все точки экстремума дифференцируемой функции, принадлежащие внутренности её области определения, находятся среди корней уравнения f' (x) = 0.