Определим время падения одного тела на другое. Обозначим массу одного тела, например, планеты – М, а массу падающего груза – т. Как известно из закона всемирного тяготения, силы, действующие на эти тела, равны:

где G – гравитационная постоянная, равная 6,67?10-11Н?м2/кг2;

R – расстояние между центрами масс тел.

Считая для простоты ускорения тел постоянными (допустим, падение происходит с небольшой высоты), вычисляем их: ускорение планеты aпл = F/M, ускорение груза агр = F/m. Скорости планеты и груза vпл = aплt и vгр = aгрt, где t – время.

Скорость сближения этих тел (скорость падения):

при этом средняя скорость падения:

где vпад. к – конечная скорость падения.

Считая оба тела массивными точками, определим время падения:

Подставляя vпад. к, получим:

В знаменателе под корнем сумма масс тел, следовательно, чем больше масса падающего груза т при постоянной М, тем меньше время падения.

Приведем гипотетический пример. Расчет показывает, что если Луна падает на Землю с высоты 1000 км, то до соприкосновения этих тел пройдет примерно 700 с (рис. 19). Если же при всех прежних условиях увеличить массу Луны до массы Земли, то падение, или, точнее, взаимное сближение, будет длиться всего 500 с.

Рис. 19. Схема падения Луны на Землю.

4.8. Вопрос. В учебниках можно встретить тезис, что при падении тел с высоты в сопротивляющейся среде, например, воздухе, в первой фазе падения тело движется с ускорением, а во второй – равномерно. Может ли так быть, ведь характер физического процесса во время падения не меняется?

Ответ. Это распространенная ошибка среди людей, обладающих определенным практическим опытом, например парашютистов, но в точной науке она неприемлема. В одном очень полезном учебнике для школ с углубленным изучением физики [26] , в разделе 3.16 «Установившееся движение тел в вязкой среде» написано, что при падении шарика в вязкой среде, например воздухе, где сила сопротивления движению тела (аэродинамическое сопротивление) пропорциональна квадрату скорости, уравнение движения имеет вид:

где F – равнодействующая силы тяжести и архимедовой силы;

v – скорость падения тела;

k – коэффициент пропорциональности (сопротивления).

Согласно утверждению авторов учебника, в самом начале движения ускорение падения шарика почти равно ускорению свободного падения, а в дальнейшем, когда скорость нарастает, «ускорение тела обращается в нуль и, начиная с этого момента, тело будет двигаться с постоянной установившейся скоростью». Сказанное выделено курсивом в конце раздела, видимо, как очень важное положение, которое следует получше запомнить. Причем приводятся конкретные данные, когда это ускорение обращается в нуль. Для падающей авиабомбы, например, это произойдет через 5–6 км падения.

Проверим, так ли это на самом деле. Воспользуемся формулой (4.14), заимствованной из цитируемого учебника, и, чтобы быть поближе к практике, расшифруем значение коэффициента k для реальных тел, падающих в воздухе:

где Сx – коэффициент обтекаемости, хорошо известный автомобилистам;

? – плотность воздуха;

S – площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения.

На падающее тело действуют силы: Р – разность силы тяжести и архимедовой силы, и сопротивление среды R (рис. 20):

Рис. 20. Силы, действующие на тело, падающее в вязкой среде.

В проекции сил на ось падения тела х:

Составляем дифференциальное уравнение движения, используя формальную запись:

Обозначив:

и подставив в (4.18), получим:

или, после разделения переменных:

Интегрируем обе части уравнения:

При х = 0 v = 0, следовательно С1 = 0. Тогда:

Отсюда окончательно находим зависимость скорости v от пути х:

А теперь проверим, при каком значении пути падения х скорость падения достигнет предельного значения, когда ускорение падения равно нулю. С возрастанием х величина:

убывает, стремясь при х ? ? к нулю, а скорость v возрастает, стремясь к некоторой предельной величине с.

Из равенства (4.19) находим:

Однако, как мы видим, скорость эта достигается только при х – со, а стало быть, не достигается никогда. Поэтому все утверждения о моменте, начиная с которого ускорение падения тела становится равным нулю, необоснованны.

Другое дело, что скорость падения может приблизиться к предельной, а ускорение падения может стать очень малым, но равным нулю – никогда. В реальной жизни могут, конечно, встретиться случаи падения, когда тело даже начнет подниматься вверх, например, в восходящих потоках воздуха, чем успешно пользуются птицы и планеристы. Но если считать справедливыми принятые нами условия (4.14), то скорость падения тела в воздухе, как и в любой вязкой сопротивляющейся среде, где сопротивление пропорционально любой (конечной) степени скорости, продолжает расти.

4.9. Вопрос. Если толкнуть плавающее в воде тело, то как скоро оно остановится?

Ответ. С первого взгляда вопрос может показаться некорректным – кажется, что нужно знать массу тела, его обтекаемость, величину импульса толчка и т. д. Но, оказывается, это не так – теоретически тело не остановится никогда. Поясним это, казалось бы, парадоксальное утверждение.

Тело, плывущее в воде с небольшой скоростью v, испытывает сопротивление воды R, пропорциональное первой степени скорости:

где ? – коэффициент сопротивления, зависящий от целого ряда параметров, в данном случае не имеющих принципиального значения. Итак, после сообщенного толчка тело приобретает начальную скорость v0, и затем вдоль линии движения на тело действует только одна сила R, направленная противоположно скорости (рис. 21).

Рис. 21. Силы, действующие на плывущее в воде тело.

Вычисляя проекцию силы, находим:

Для определения времени движения составляем дифференциальное уравнение: