Литмир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

Определим время падения одного тела на другое. Обозначим массу одного тела, например, планеты – М, а массу падающего груза – т. Как известно из закона всемирного тяготения, силы, действующие на эти тела, равны:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_054.png

где G – гравитационная постоянная, равная 6,67?10-11Н?м2/кг2;

R – расстояние между центрами масс тел.

Считая для простоты ускорения тел постоянными (допустим, падение происходит с небольшой высоты), вычисляем их: ускорение планеты aпл = F/M, ускорение груза агр = F/m. Скорости планеты и груза vпл = aплt и vгр = aгрt, где t – время.

Скорость сближения этих тел (скорость падения):

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_055.png

при этом средняя скорость падения:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_056.png

где vпад. к – конечная скорость падения.

Считая оба тела массивными точками, определим время падения:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_057.png

Подставляя vпад. к, получим:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_058.png

В знаменателе под корнем сумма масс тел, следовательно, чем больше масса падающего груза т при постоянной М, тем меньше время падения.

Приведем гипотетический пример. Расчет показывает, что если Луна падает на Землю с высоты 1000 км, то до соприкосновения этих тел пройдет примерно 700 с (рис. 19). Если же при всех прежних условиях увеличить массу Луны до массы Земли, то падение, или, точнее, взаимное сближение, будет длиться всего 500 с.

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_059.png

Рис. 19. Схема падения Луны на Землю.

4.8. Вопрос. В учебниках можно встретить тезис, что при падении тел с высоты в сопротивляющейся среде, например, воздухе, в первой фазе падения тело движется с ускорением, а во второй – равномерно. Может ли так быть, ведь характер физического процесса во время падения не меняется?

Ответ. Это распространенная ошибка среди людей, обладающих определенным практическим опытом, например парашютистов, но в точной науке она неприемлема. В одном очень полезном учебнике для школ с углубленным изучением физики [26] , в разделе 3.16 «Установившееся движение тел в вязкой среде» написано, что при падении шарика в вязкой среде, например воздухе, где сила сопротивления движению тела (аэродинамическое сопротивление) пропорциональна квадрату скорости, уравнение движения имеет вид:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_060.png

где F – равнодействующая силы тяжести и архимедовой силы;

v – скорость падения тела;

k – коэффициент пропорциональности (сопротивления).

Согласно утверждению авторов учебника, в самом начале движения ускорение падения шарика почти равно ускорению свободного падения, а в дальнейшем, когда скорость нарастает, «ускорение тела обращается в нуль и, начиная с этого момента, тело будет двигаться с постоянной установившейся скоростью». Сказанное выделено курсивом в конце раздела, видимо, как очень важное положение, которое следует получше запомнить. Причем приводятся конкретные данные, когда это ускорение обращается в нуль. Для падающей авиабомбы, например, это произойдет через 5–6 км падения.

Проверим, так ли это на самом деле. Воспользуемся формулой (4.14), заимствованной из цитируемого учебника, и, чтобы быть поближе к практике, расшифруем значение коэффициента k для реальных тел, падающих в воздухе:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_061.png

где Сx – коэффициент обтекаемости, хорошо известный автомобилистам;

? – плотность воздуха;

S – площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения.

На падающее тело действуют силы: Р – разность силы тяжести и архимедовой силы, и сопротивление среды R (рис. 20):

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_062.png
Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_063.png

Рис. 20. Силы, действующие на тело, падающее в вязкой среде.

В проекции сил на ось падения тела х:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_064.png

Составляем дифференциальное уравнение движения, используя формальную запись:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_065.png

Обозначив:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_066.png

и подставив в (4.18), получим:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_067.png

или, после разделения переменных:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_068.png

Интегрируем обе части уравнения:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_069.png

При х = 0 v = 0, следовательно С1 = 0. Тогда:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_070.png

Отсюда окончательно находим зависимость скорости v от пути х:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_071.png

А теперь проверим, при каком значении пути падения х скорость падения достигнет предельного значения, когда ускорение падения равно нулю. С возрастанием х величина:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_072.png

убывает, стремясь при х ? ? к нулю, а скорость v возрастает, стремясь к некоторой предельной величине с.

Из равенства (4.19) находим:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_073.png

Однако, как мы видим, скорость эта достигается только при х – со, а стало быть, не достигается никогда. Поэтому все утверждения о моменте, начиная с которого ускорение падения тела становится равным нулю, необоснованны.

Другое дело, что скорость падения может приблизиться к предельной, а ускорение падения может стать очень малым, но равным нулю – никогда. В реальной жизни могут, конечно, встретиться случаи падения, когда тело даже начнет подниматься вверх, например, в восходящих потоках воздуха, чем успешно пользуются птицы и планеристы. Но если считать справедливыми принятые нами условия (4.14), то скорость падения тела в воздухе, как и в любой вязкой сопротивляющейся среде, где сопротивление пропорционально любой (конечной) степени скорости, продолжает расти.

4.9. Вопрос. Если толкнуть плавающее в воде тело, то как скоро оно остановится?

Ответ. С первого взгляда вопрос может показаться некорректным – кажется, что нужно знать массу тела, его обтекаемость, величину импульса толчка и т. д. Но, оказывается, это не так – теоретически тело не остановится никогда. Поясним это, казалось бы, парадоксальное утверждение.

Тело, плывущее в воде с небольшой скоростью v, испытывает сопротивление воды R, пропорциональное первой степени скорости:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_074.png

где ? – коэффициент сопротивления, зависящий от целого ряда параметров, в данном случае не имеющих принципиального значения. Итак, после сообщенного толчка тело приобретает начальную скорость v0, и затем вдоль линии движения на тело действует только одна сила R, направленная противоположно скорости (рис. 21).

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_075.png

Рис. 21. Силы, действующие на плывущее в воде тело.

Вычисляя проекцию силы, находим:

Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах - i_076.png

Для определения времени движения составляем дифференциальное уравнение:

12
{"b":"99362","o":1}