Созданный Ньютоном современный анализ оказался могучим средством и для теоретических и для практических приложений. Между тем аргументы Зенона против основных понятий математики и механики, несмотря на многочисленные попытки их опровергнуть, оставались неопровергнутыми.

Во второй половине XIX столетия, вообще подвергшего основы математики тщательному пересмотру, появились работы немецкого учёного Георга Кантора. Учение Кантора пролило новый свет на апории Зенона и объяснило в них то, что вообще поддаётся объяснению. Но было бы поспешным утверждать, что оно опровергло их до конца…»

Теория множеств Кантора действительно заставила по-новому взглянуть на каверзные апории Зенона. Она выявила качественное различие между бесконечностями. В чём же оно, это различие?

Нанесите на листок миллиметровки две точки. Дистанция между ними, очевидно, конечна. Тем не менее ограниченный ими отрезок прямой вмещает в себе бесконечность. И даже не одну.

Поставьте посередине между двумя точками третью. Точно так же поделите надвое каждую из половинок, затем четвертушек, осьмушек и т. д. Всё плотнее и плотнее будут ложиться точки. Но вам так и не удастся превратить ваше многоточие в сплошную линию, даже если бы вы каким-то чудом обрели вдруг бессмертие. «Татуирование» бумаги будет длиться вечно. Ибо ни одна из ваших точек-середин не станет последней. Всегда можно сделать следующий шаг — поделить пополам только что полученные отрезочки, сколь бы малы они ни были.

Однако предположим, что всё бесчисленное множество наших точек-середин уже имеется «в наличии», так что нам не нужно получать его бесконечным рядом шагов. Получилась вроде бы сплошная линия, без пустых промежутков между точками. Тем не менее мы можем продолжить «иглоукалывание», но уже иным способом: будем делить первоначальный отрезок не пополам, а на три части, затем на девять частей, двадцать семь и так далее. Мы получим новое бесконечное множество, причём для любой точки этого нового множества найдётся место на отрезке, не занятое точками прежнего множества. Такой же результат получится и при делении отрезка на 5 частей, 25, 125 и так далее; на 7, 49 и т. д. Коротенький отрезочек, а способен вместить сколько угодно таких бесконечных множеств!

Пусть теперь нам удалось «вытатуировать» на миллиметровке линию, составленную из всех без исключения рациональных точек. Оно будет, как скажет математик, «всюду плотным». Иначе говоря, на нашем отрезке не найдётся такого места, где бы, мы не встретили какую-нибудь из точек нашего множества. И тем не менее рациональные точки не покрывают всего отрезка целиком! Не верите?

Давайте построим такой квадрат, чтобы его диагональю служил наш отрезок, ограниченный двумя делениями миллиметровки. Возьмём сторону квадрата и уложим её на диагональ, совместив левые концы отрезков. Тогда правый конец стороны квадрата опять-таки придётся аккурат на «вакантное» место! Перед нами иррациональная точка. И таких точек на нашу диагональ можно «перенести» со стороны квадрата сколько угодно. Например, середина стороны квадрата, середины обеих половинок, затем четырёх четвертушек и так далее — всё это иррациональные точки. Совершенно очевидно, что полученное таким путём множество будет бесконечно большим. Точки, полученные делением стороны квадрата на три, на девять, двадцать семь долек и так далее, тоже окажутся иррациональными и тоже дадут бесконечное множество. Аналогичная процедура осуществима и с остатком диагонали, не прикрытым стороной квадрата. И для любой точки каждого из этих новых бесконечных множеств найдётся своё место на отрезке. Место, не занятое рациональными точками! Это выглядит потрясающе: ведь множество рациональных точек всюду плотно — и вдруг содержит «пустоты», уготованные для иррациональных точек! Неспроста, знать, открытие иррациональных точек, сделанное в глубокой древности, привело в замешательство античных геометров. И опять-таки никакая интуиция не поможет нам отличить соседние точки — рациональную и иррациональную — или установить порядок их чередования. Абстрактно мыслить, формально описывать подобное геометрическое сообщество (континуум) мы можем, но представить в зримых образах… Математики уверяют, что это вообще недоступно нашей интуиции. А ведь мы каждый день видим континуум! Перекладинка типографской литеры на этой странице, траектория зеноновской стрелы, маршрут Диогена — словом, любой конечный отрезок или бесконечная линия — всё это континуумы, непрерывные последовательности всех рациональных и иррациональных точек, взятых в их неразрывной совокупности. И одно из кардинальнейших свойств континуума — его несчётность. Это замечательное открытие принадлежит Кантору.

На первый взгляд, тут и открывать-то нечего; раз множество бесконечно, то ясно, что его элементы (числа, точки) не перечтёшь, Ан нет, оказывается, есть и счётные множества, даром что бесконечные.

Понятно, определение «счётный» здесь до некоторой степени условно. Начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы заранее обрекаем себя на неудачу — эта процедура никогда не закончится. Пересчитать по элементам в буквальном смысле можно лишь конечное множество (по крайней мере в принципе). Но что такое «пересчитать»? Это значит сопоставить элементы какого-то множества числам натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, 6… Именно так поступает педантичный гардеробщик, выдавая по порядку номерки взамен верхней одежды, снимаемой посетителями. При этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между номерами жетонов и шляпами (или плащами, галошами, портфелями и так далее).

Правда, последовательный пересчёт не всегда удобен — даже в случае конечных множеств, «Пойдём, например, на танцплощадку, — иллюстрирует эту мысль доктор физико-математических наук Н. Я. Виленкин в своей брошюре «Рассказы о множествах». — Как узнать, поровну ли здесь юношей и девушек? Конечно, можно попросить юношей отойти в одну сторону, а девушек в другую и заняться подсчётом как тех, так и других. Но нас не интересует, сколько здесь юношей и девушек, а интересует лишь, поровну ли их. Попросим оркестр сыграть какой-нибудь танец. Тогда юноши пригласят девушек, и наша задача будет решена. Ведь если вся молодёжь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на площадке ровно столько же юношей, сколько и девушек».