111
Ошибка, которую, однако, не надо ставить в упрёк Пуанкаре (см. следующее замечание).
112
Неизвестно, сам ли Вейерштрасс начертил эту фигуру или он только описал её словесно, так как он излагал этот метод лишь в своих устных курсах и в течение многих лет метод оставался неизвестным для всех, кроме его учеников.
113
Вообще говоря, как замечают некоторые авторы (см. Meyerson, "Du cheminement de la Pensée", tome 1, цитируется по Henri Delacróix, "L'Invention et la Génie", p. 480), часто существует большая разница между открытием какой-нибудь идеи и её выражением в словах.
114
По форме, но не по существу, фраза в тексте несколько отличается от записи, сделанной Ферма. — Прим. ред.
115
К настоящему времени известно, что соотношение xm + ym = zm неразрешимо в целых числах для m ≤ 2521. — Прим. ред. [Это было в 1970 году. Через 25 лет появилась работа Эндрю Уайлса, а ещё через пару лет — книга Саймона Сингха. — E.G.A.]
116
Такого рода подход в течение двух последних веков использовался наиболее знаменитыми математиками, начиная с Абеля. Все важные результаты, которые можно получить в этом направлении, видимо, получены; эти результаты весьма ограниченны. Академия Наук ежегодно получает несколько работ на эту тему, большинство из которых являются абсурдными, а в некоторых воспроизводятся уже известные результаты, полученные Абелем и другими.
117
Эти примеры Ферма и Римана относятся к арифметике. Арифметика, хотя с неё начинают преподавание в младших классах школы, оказывается одной из самых трудных (если не самой трудной) из математических наук, когда пытаются в неё углубиться. Существенные результаты в арифметике получают обычно тогда, когда арифметические вопросы сводят к высшей алгебре и к анализу бесконечно малых. (Арифметика у французских и немецких авторов часто применяется как синоним теории чисел. — Прим. ред.).
118
Заметим, что на примере этого открытия Римана вновь можно наблюдать разницу между двумя видами интуиции, которые Пуанкаре считал идентичными. Вообще говоря, Риман обладал интуицией в высшей степени геометрического характера, как это отмечал Пуанкаре, однако в работе о простых числах, где интуиция Римана достигает вершин глубины и таинственности, геометрические элементы не играют существенной роли.
119
Есть основания полагать, что дуэль, на которой был убит Галуа, была подстроена полицией. — Прим. ред.
120
Случай покажется ещё более странным, если заметить, что на той же 216 странице третьего тома, всего несколькими строками выше, Пуанкаре пишет: «Это исследование связано с трудным вопросом о второй вариации».
Однако в теории Вейерштрасса, т. е. в нашем современном вариационном исчислении, нет вопроса о второй вариации — она совершенно не используется.
Таким образом, на этой странице «Новых методов» получилось любопытное противоречие. Упоминание о «второй вариации» сделано человеком, который представления не имеет о новой теории. С другой стороны, Пуанкаре, показал, что он её вполне себе представлял, когда формулировал своё условие (А) (такую форму он придал условию Вейерштрасса). Однако до появления новой теории никто не думал о вещах такого рода: знали лишь классическое, но не столь адекватное «условие Лежандра».
Следует ли сделать заключение, что Пуанкаре испытал своего рода раздвоение личности?
121
Renan, "L'Avenir de la Science", p. 115. (см. рус. перевод: Эрнест Ренан, «Будущее науки», т.1–2, Киев, 1902, изд. К. Б. Фукс).
122
Для специалистов: это была «теорема композиции».
123
Это та самая теория, мимо которой я прошёл, «не заметив её», как я рассказывал об этом в гл. IV. Утешением для моего самолюбия было лишь то, что я дал звено, оказавшееся необходимым для выводов Фредгольма.
124
Небольшая неточность автора: задача о брахистохроне была поставлена и решена Иоганном Бернулли (а также Лейбницем, Ньютоном, Яковом Бернулли и Лопиталем) в конце XVII века. — Прим. ред.
125
Рассматривая один из вопросов аналлагматической геометрии (см. гл. IV), я недооценил его красоты и не уделил ему в достаточной мере внимания.
126
"The Art of Thought", стр. 206–210. Уоллас указывает на тот факт, что очень крупные учёные не стремятся к оригинальности, им это не нужно. Он говорит, что для них «в моменты работы устанавливается гармония между интенсивной деятельностью всей высшей и низшей нервной системы, с одной стороны, и сознательным волевым усилием, с другой».
127
Точка зрения, аналогичная той, которая высказывается нам в этой работе, изложена в недавно выпущенной брошюре Харди (Г. Г. Харди «Апология математика»). Хотя он и не даёт полного определения красоты (или «серьёзности», как он это называет) математического вопроса или результата, — определения, которое, естественно, должно учитывать и эстетическую сторону дела, — но Харди очень тонко и глубоко анализирует вопрос об условиях, которые должны быть соблюдены при таком определении.
Он рассматривает также вопрос о том, что влияет на исследователя. Он указывает три важных мотива и первым из них является, естественно, желание узнать истину. По причинам, о которых я говорил, я больше чем он отстаиваю положение, что именно этот мотив преобладает и даже необходим.
128
Случайно ли сходство эволюции идей у греческих философов и у мыслителей нашей эры по вопросу о словах и о мышлении без слов, и не проявляется ли в этом какой-то общий закон эволюция мышления? Естественно, этого нельзя утверждать, основываясь лишь на двух приведённых примерах. Но если бы это было доказано, такой факт был бы многозначителен. Возможно, что большой интерес представляет изучение этой проблемы в азиатской, или в арабской философии (особенно испанского периода).
129
Примерно соответствует сдаче кандидатского минимума по специальности. — Прим. ред.
130
Лишь несколько математиков ответили на вопросы 31.а) и 31.б), в частности в связи с топологическими аргументами типа доказательства теоремы Жордана (см. гл. VII, стр. 98). У всех без исключения геометрический аспект рассуждения является вполне сознательным. Один или двое из них чувствуют сразу же возможность выразить в аналитической форме любое звено этого рассуждения и даже способны немедленно найти этот перевод на аналитический язык (так что аналитическая форма доказательства должна находиться в краевом сознании); другим нужно приложить для этого большее или меньшее усилие.
131
Добавлено в настоящем издании. — Прим. ред.
132
Оценки на этих экзаменах весьма дифференцированны, даются по стобалльной системе по двадцати предметам. Адамар набрал около 1900 баллов.
comments
Комментарии
1
