Скотт — один из мировых экспертов по «вычислительной сложности». Данная дисциплина помогает обобщать различные вопросы по категориям в зависимости от сложности решения этих вопросов. Проблема достаточно заинтриговала Скотта, и он решил в ней разобраться. Он подключил к делу Лорен, которая на тот момент была студенткой-старшекурсницей в MIT, и вместе они решили написать простой программный код, который бы автоматически моделировал смешивание сливок и кофе. После того как мы втроём подготовили первый черновой вариант статьи и выложили его в Интернет, нам написал Брент и указал на ошибку в наших результатах. Эта ошибка не подрывала общую идею, но указывала, что неверен тот конкретный пример, который мы рассматривали. Мы признали правоту Брента — считая, что наука должна двигаться вперёд, а отнюдь не стремясь проучить Брента за дерзость и испортить ему научную карьеру — и пригласили его к сотрудничеству. Скотт привлёк к делу Варуна, ещё одного старшекурсника из MIT, чтобы тот помог доработать код и смоделировать ещё несколько вариантов — и вот наконец мы смогли решить все наши проблемы. Таков научный прогресс во всей красе.

* * *

В ходе данного исследования нас особенно интересовала так называемая явная сложность чашки с кофе. В информатике выделяются схожие феномены, именуемые «алгоритмической сложностью» и «колмогоровской сложностью» последовательности разрядов. (Любое изображение можно представить в виде последовательности разрядов, записанных, например, в файле с данными.) Идея заключается в том, что можно подобрать тот или иной язык программирования, который позволяет выводить такие последовательности вида 01001011011101. Алгоритмическая сложность последовательности — это всего лишь длина кратчайшей программы, выполнение которой даёт такую последовательность. Сложность простых закономерностей невысока, а совершенно беспорядочные последовательности характеризуются большой сложностью. Существует единственный способ вывести такую последовательность: задать компьютеру команду «Print», которая содержит точную копию нужной последовательности.

Поскольку мы собирались описывать изображения, на которых показано, как сливки смешиваются с кофе, в нашей ситуации случайные помехи трактовались бы как «простые», а не как сложные. Итак, в духе больцмановских представлений об энтропии мы определили «явную сложность» путём огрубления. Мы решили не отслеживать в нашей модели каждую отдельную частицу, а рассмотреть среднее количество частиц в небольшой области пространства. В таком случае явная сложность — это алгоритмическая сложность распределения кофе и сливок с известным огрублением. Это удобный способ формализации наших интуитивных представлений о том, «насколько сложным кажется изображение». Высокая явная сложность соответствует крупнозернистому (смазанному) изображению, в котором содержится множество интересных структур.

К сожалению, невозможно напрямую рассчитать явную сложность изображения. Но можно получить хорошее приближение: просто загоняем изображение в алгоритм сжатия файлов. На любом компьютере есть программы для таких операций, поэтому мы сразу взялись за дело.

В самом начале моделирования явная сложность системы невелика: полное описание системы — «сливки сверху, кофе снизу». В конце процесса явная сложность вновь низка: достаточно сказать, что в каждой точке содержится равное количество кофе и сливок. Самое интересное происходит в процессе смешивания. Мы обнаружили, что сложность развивается не обязательно — причём неважно, зависит ли она от того, как именно перемешиваются друг с другом сливки и кофе.

Грубо говоря, если молекулы сливок и кофе взаимодействуют лишь с другими ближайшими молекулами, то вы не заметите почти никакого развития сложности. Две жидкости просто постепенно перемешаются, никаких извилистых язычков не образуется.

Если ввести в систему дальнодействующие эффекты — как если бы мы помешивали кофе ложечкой, то станет гораздо интереснее. Тогда кофе со сливками не просто смешиваются — между ними возникает граница, имеющая форму фрактала. Получается изображение, обладающее высокой явной сложностью; чтобы точно его описать, нам бы понадобилось передать сложные контуры кофейно-сливочной границы, а это существенный объём информации.

Простая компьютерная модель, описывающая смешивание кофе и сливок. В самом начале конфигурация проста и постепенно усложняется. Дальнейшая эволюция вновь приведёт к её упрощению, поскольку тёмный и светлый компоненты полностью перемешаются

Отношение между понятиями «фрактальный» и «сложный» — не просто косметическое. Фрактал — это геометрическая фигура, которая выглядит практически одинаково при любом увеличении. В случае со сливками и кофе мы наблюдаем, как молекулы складываются в условно фрактальные узоры, а потом фракталы исчезают и сменяются равновесным состоянием. Это характерная черта сложности: самые интересные детали системы проявляются, если наблюдать её с увеличением, при наличии всего нескольких переменных параметров, а также когда вся система рассматривается как единое целое.

Как в физике, так и в биологии сложность зачастую возникает по иерархическому принципу: мелкие элементы объединяются в более крупные единицы, те — в ещё более крупные и так далее. Мелкие элементы остаются целостными, при этом взаимодействуя друг с другом в рамках целого. Так образуются сети, для которых характерно сложное общее поведение, возникающее на основе простых базовых законов. Автоматическая модель, описывающая кофе в чашке, слишком проста и не позволяет достоверно смоделировать этот процесс, но фрактальные очертания напоминают, сколь устойчивой и естественной бывает сложность.

Если продолжать процесс, то постепенно вся явная сложность исчезнет. Кофе и сливки просто полностью перемешаются. Стоит подождать достаточно долго — и любая закрытая система достигнет равновесия, после чего уже не будет происходить ничего интересного.

* * *

Из сказанного выше следует, что нет такого закона природы, согласно которому сложность неизбежно возникает при развитии системы из состояния с низкой энтропией к состоянию с высокой энтропией. Однако сложность может развиться — и неважно, зависит она или нет от деталей той системы, о которой вы размышляете. Простая компьютерная модель позволяет предположить, что ключевой аспект заключается в наличии дальнодействующих эффектов, при которых взаимодействуют не только смежные частицы.

В реальном мире наблюдаются как короткодействующие взаимодействия (когда частицы сталкиваются друг с другом), так и дальнодействующие, например гравитация или электромагнетизм. Когда мы наблюдаем, что при расширении и остывании Вселенной образуются сложные структуры, мы видим всего лишь взаимное влияние противодействующих сил. Из-за расширения Вселенной расстояние между телами увеличивается, а гравитация заставляет их притягиваться друг к другу; магнитные поля отдаляют тела друг от друга, а столкновения атомов перемешивают материю и позволяют ей остывать. Если интересные сложные структуры могут возникнуть в компьютерной модели, включающей лишь чёрные и белые точки, то неудивительно, что сложность возникает в столь разнохарактерной системе, как расширяющаяся Вселенная.

Внешняя сложность не просто согласуется с возрастанием энтропии, но и зависит от него. Представим себе систему, в которой не было никакой Гипотезы прошлого; она просто с самого начала находилась в равновесном состоянии с высокой энтропией. Сложность в такой системе никогда бы не возникла; вся система постоянно оставалась бы неинтересной и не имела бы характерных черт (в ней наблюдались бы только случайные флуктуации). Единственная причина, по которой возникают сложные структуры, такова: Вселенная постепенно эволюционирует, переходя от состояния с очень низкой энтропией к состоянию с очень высокой энтропией. «Беспорядок» нарастает, именно поэтому сложность может возникать и существовать достаточно долго.