Примеры термов:

3.14.ax² + bx + c._a∫^bf(z)dz.

Примеры соотношений:

aх² + bx + c = 0.0 < z < 1.Каково бы ни было натуральное число n > 1, найдется простое число р, которое является делителем числа n.Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Понятия «объект» и «высказывание» считаются в логике первичными, интуитивно ясными и неопределяемыми. Формальное различие между ними состоит в том, что о высказывании имеет смысл говорить, что оно является истинным или ложным. Так, третий и четвертый примеры математических соотношений представляют собой истинные высказывания, а первое и второе соотношения могут быть истинными или ложными в зависимости от значения переменных х и z. К объектам понятия истинности и ложности неприменимы.

Объекты и высказывания, которые считаются элементарными, т. е. не расчлененными на отдельные составные части, обозначаются в логике буквами. Объекты обычно обозначаются малыми латинскими буквами, а высказывания — большими. Мы будем придерживаться этой символики, но дополнительно введем еще одно соглашение. Для ясности записи и уменьшения словесных пояснений будем иногда обозначать элементарные объекты и высказывания словами и словосочетаниями, взятыми в кавычки. Следовательно, словосочетания в кавычках будут рассматриваться на равных правах с буквами.

Объекты и высказывания, которые не являются элементарными, конструируются, очевидно, из других объектов и высказываний. Мы должны указать теперь способ конструирования.

При наличии двух типов элементов (объекты и высказывания) и предполагая, что элементы, служащие строительным материалом, принадлежат все к одному типу, мы получаем четыре возможных типа конструкций, которые мы сведем в следующую таблицу.

Что конструируется

Из чего конструируется

Название конструкции

Высказывание

Высказывания

Логическая связка

Высказывание

Объекты

Предикат

Объект

Высказывания

—

Объект

Объекты

Функция

6.7. Логические связки

Широко употребительных логических связок пять. Это отрицание (изображается знаком ¬), конъюнкция (знак ∧), дизъюнкция (знак ∨), импликация (знак ⊃) и эквивалентность (знак ≡).

Высказывание ¬A (читается «не A») означает, что высказывание A ложно. Иначе говоря, ¬A истинно тогда, когда A ложно, и ложно тогда, когда A истинно.

Высказывание A ∧ B (читается «A и B») означает утверждение, что верно и A, и B. Оно верно только в том случае, если верны оба высказывания A и B.

Высказывание A ∨ B («A или B») верно, если верно хотя бы одно из высказываний A и B.

Высказывание A ⊃ B читается «A влечет B» или «если A, то B». Оно неверно, если A истинно, B ложно, и верно во всех остальных случаях.

Наконец, высказывание A ≡ B верно в том случае, если высказывания A и B либо оба истинны, либо оба ложны.

Для обозначения структуры связей пользуются скобками подобно тому, как это делается в алгебре для обозначения порядка выполнения арифметических действий. Так, например, высказывание ¬A ∧ B означает «A неверно, а B верно», а высказывание ¬(A ∧ B) — «неверно, что A и B оба верны». И так же, как в алгебре, для уменьшения числа скобок устанавливается порядок старшинства связок по силе связи. Выше мы перечислили связки в порядке ослабления связи. Например, конъюнкция связывает сильнее, чем импликация, поэтому высказывание A ⊃ B ∧ C понимается как A ⊃ (B ∧ C), но не как (A ⊃ B) ∧ C. Это соответствует тому, что в алгебре a + b × c означает a + (b × c), но не (a + b) × c.

Приведем несколько примеров составных высказываний.

Известная скороговорка утверждает: «цапля чахла, цапля сохла, цапля сдохла». Это высказывание можно записать в виде: «цапля чахла» ∧ «цапля сохла» ∧ «цапля сдохла».

Соотношение 0 < Z < 1 есть конъюнкция «Z > 0» ∧ «Z < 1», a соотношение |Z| > 1 — дизъюнкция «Z > 1» ∨ «Z < -1». Определение логической связки ≡ данное выше, можно записать так:

[(A ≡ B) ⊃ (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)] ∧ [(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) ⊃ (A ≡ B)]

Предоставляем читателю перевести на обычный язык следующее высказывание:

«Свет включен» ∧ «Лампочка не горит» ⊃ «Нет электричества» ∨ «Перегорели пробки» ∨ «Перегорела лампочка».

Если считать, что высказывания могут быть только истинными или ложными и, сверх этого, о высказывании ничего сказать нельзя, то перечисленных связок достаточно, чтобы выразить все мыслимые конструкции из высказываний. Достаточно даже двух связок, например отрицания и конъюнкции или отрицания и дизъюнкции. Такая ситуация имеет место, в частности, в отношении утверждений математики. Поэтому в математической логике других связок не используется.

Однако естественный язык отражает большее разнообразие в оценке высказываний, чем просто деление их на истинные и ложные. Например, высказывание можно рассматривать как бессмысленное или как недостоверное, хотя и возможное («в этом лесу, наверное, есть волки»). Этим вопросам посвящены специальные разделы логики, в которых находятся другие связки. Большого значения для современной науки эти разделы (в отличие от классической математической логики) не имеют, и мы их касаться не будем.

6.8. Предикаты

Конструкция, сопоставляющая нескольким объектам высказывание, называется предикатом. Предикаты делятся на одноместные, двухместные, трехместные и т.д. в соответствии с числом объектов, которого они требуют. Для записи их используют функциональные обозначения. Предикат можно записать в виде функции с незаполненными местами для аргументов, например

P( ), L( , ), I( , , )

или же в виде

P(x), L(z, y), I(x, y, z)

оговорив, что x, y, z — предметные переменные, т. е. символы, которые в конечном счете должны быть заменены на объекты, но какие — пока неизвестно. Впрочем, вторая форма изображает, строго говоря, уже не предикат, а высказывание, содержащее предметные переменные. Вместо больших букв мы будем также использовать словосочетания в кавычках, например,

«красный»(x), «между»(x,у, z)

и специальные математические знаки, например,

<(х, у).

Одноместный предикат выражает свойство объекта, предикат более чем с одним аргументом — отношение между объектами. Если места для аргументов в предикате заполнены, то мы имеем дело с высказыванием, утверждающим наличие данного свойства или отношения. Высказывание

«красный»(«мяч»)

означает, что «мяч» обладает свойством «красный». Конструкция

<(a, b)

равнозначна соотношению (неравенству) a < b.

Соединяя предикатные конструкции логическими связками, мы получаем более сложные высказывания. Например, соотношение |z| > 1, которое мы раньше записывали, не расчленяя высказываний на элементы, мы запишем теперь в виде

>(z, 1) ∨ <(z, -1).

6.9. Кванторы