Эти ошибочные модели встречаются далеко за пределами статистики в любой системе, где принимаются решения. Отличный пример – ваш спам-фильтр в электронной почте. Недавно спам-фильтры удалили письмо с фотографиями нашей новорожденной племянницы (ложноположительный результат). А настоящий спам до сих пор иногда просачивается в основную почту (ложноотрицательный результат).

Возможные результаты теста

Поскольку каждый тип ошибок имеет свои последствия, системы нужно создавать с их учетом.

То есть решения придется принимать на компромиссе между различными типами ошибок, признавая, что некоторые из них неизбежны.

Например, правовая система США должна требовать доказательств по обвинительным приговорам, а не основываться на разумных сомнениях в виновности задержанного человека. Это осознанный компромисс в пользу ложноотрицательного (выпустить преступника на волю), а не ложноположительного результата (наказать невиновного человека).

В статистике ложноположительный результат известен как ошибка типа I, а ложноотрицательный результат называется ошибкой типа II. При разработке эксперимента ученые оценивают вероятность каждого типа ошибки, которую они готовы терпеть. Допустимый процент ложноположительных результатов обычно равен 5 % (этот показатель также обозначается греческой буквой α – альфа, которая равняется 100 минус уровень доверия. Вот почему обычно уровень доверия составляет 95 %). Это значит, что в среднем, если ваша гипотеза неверна, один из 20 экспериментов (5 %) даст ложноположительный результат.

Независимо от размера выборки в вашем эксперименте всегда можно задать процент ложноположительного результата. Он не обязательно должен быть равен 5 %. Можно выбрать 1 % или даже 0,1 %. Но, ставя такой низкий процент ложноположительного результата для своей выборки, вы увеличиваете частоту ложноположительных ошибок, и тогда вам, возможно, не удастся найти реальный результат. Тут-то речь и заходит о размере выборки.

Определив процент ложноположительных результатов, вы должны выяснить, какого размера вам потребуется выборка, чтобы с достаточно высокой вероятностью найти истинный результат. Эта величина называется мощностью эксперимента и обычно выбирается так, чтобы вероятность обнаружения составляла 80–90 %, а частота ложноположительной ошибки, соответственно, 10–20 % (этот процент также обозначается греческой буквой β – бета, которая равняется 100 минус мощность). Исследователи говорят, что их эксперимент обладает мощностью 80 %.

Статистическая проверка

Давайте рассмотрим один пример, чтобы проиллюстрировать, как все эти модели работают вместе. Предположим, компания хочет доказать, что их новое приложение для засыпания работает. Предварительное исследование показало, что в половине случаев человек засыпает в течение 10 минут. Разработчики думают, что можно улучшить этот показатель с помощью приложения, помогая большему количеству людей заснуть меньше чем за 10 минут.

Разработчики планируют исследование в лаборатории сна, чтобы проверить свою теорию. Тестовая группа будет использовать приложение, а контрольная будет засыпать без него (у настоящего исследования план будет посложнее, но мы объясняем статистические модели).

Статистическая база большинства экспериментов (включая и этот) начинается с гипотезы о том, что между группами нет разницы, – это называется нулевой гипотезой.

Если разработчики соберут достаточно доказательств для опровержения этой гипотезы, они сделают вывод, что их приложение действительно помогает людям уснуть быстрее.

То есть разработчики приложения наблюдают за обеими группами, а затем рассчитывают процент людей, засыпающих в течение 10 минут в каждой. Если они найдут достаточно большую разницу между этими двумя результатами, они сделают вывод, что результаты несовместимы с нулевой гипотезой, а значит, приложение, вероятно, действительно работает.

Разработчикам также нужно детально изложить альтернативную гипотезу, которая описывает наименьшие значимые показатели, которые, как им кажется, возникнут между двумя группами: например, на 15 % больше людей уснет в течение 10 минут. Это реальный результат, который они хотят подтвердить своим исследованием и имеют 80 % шанс обнаружить (что соответствует ложноотрицательному результату в 20 % случаев).

Эта альтернативная гипотеза необходима для определения размера выборки. Чем меньше разница в альтернативной гипотезе, тем больше людей потребуется для ее обнаружения. Для описанного плана эксперимента размер выборки составляет 268 участников.

Все эти модели наглядно представлены на рисунке.

Для начала посмотрим на кривые нормального распределения (по центральной предельной теореме можно предположить, что разницы будут приблизительно нормально распределены). Кривая слева показывает результаты меньше нулевой гипотезы: между двумя группами нет существенной разницы. Вот почему эта левая кривая центрирована на 0 %. Даже в этом случае разница время от времени будет случайно составлять больше или меньше нуля, но чем больше разница, тем менее она вероятна. То есть из-за базовой изменчивости, даже если приложение и не обладает реальным эффектом, разница все равно будет обнаружена между двумя группами, потому что люди засыпают за случайные периоды времени.

Статистическая значимость

Другая кривая нормального распределения (справа) представляет собой альтернативную гипотезу, на правдивость которой надеются разработчики: количество людей, которые засыпают в течение 10 минут при использовании приложения, увеличится на 15 % по сравнению с людьми, которые не пользуются им. Опять же, даже если эта гипотеза верна, из-за изменчивости разница иногда все равно будет меньше 15 %, а иногда больше 15 %. Вот почему правая кривая центрирована на 15 %.

Пунктирная линия представляет собой порог статистической значимости. Все значения, превышающие этот порог (справа), будут опровергать нулевую гипотезу, поскольку такая большая разница вряд ли возникнет, если нулевая гипотеза верна.

На самом деле вероятность ее возникновения была бы меньше 5 % – такой процент ложноположительного результата изначально установили разработчики.

Последняя мера, к которой часто прибегают, чтобы выявить статистическую значимость результата, называется p-значением, официальное определение которого – вероятность получения результата, равного или превышающего наблюдаемый, если предположить, что нулевая гипотеза верна. По сути своей, если p-значение меньше выбранного уровня ложноположительного результата (5 %), можно сказать, что результат обладает статистической значимостью. P-значения часто используются в отчетах об исследованиях, чтобы сообщить о такой значимости.

Например, p-значение, равное 0,01, значит, что разница, равная или превышающая наблюдаемую, будет иметь место только в 1 % случаев, если приложение окажется неэффективным. Это значение соответствует значению на крайнем хвосте левой кривой нормального распределения и ближе к центру правой кривой нормального распределения. Такое расположение означает, что результат больше соответствует альтернативной гипотезе: данное приложение имеет эффект 15 %.

Теперь обратите внимание, как две кривые накладываются друг на друга, показывая, что некоторая разница между двумя группами согласуется с обеими гипотезами (одновременно под обоими колоколами кривых). Эти серые области показывают, где могут возникнуть два типа ошибки. Светло-серая область – это ложноположительный, а темно-серая – ложноотрицательный результат.