Значимость математики в современном мире легко недооценить, потому что почти все, что связано с математикой, происходит за кулисами. Прогуляйтесь по улице любого города, и вы увидите ошеломляющее количество вывесок, которые кричат о важности банков, овощных магазинов, супермаркетов, модных бутиков, точек автосервиса и фастфуда, юристов, предметов старины, благотворительных организаций и тысячи других заведений и профессий. А вот бронзовой таблички, извещающей о том, что здесь консультирует математик, не найти. И ни один супермаркет не продаст вам немного «консервированной математики».

Однако стоит копнуть поглубже, и значимость математики быстро становится очевидной. Без уравнений аэродинамики невозможно конструировать самолеты. Навигация опирается на тригонометрию. Сегодня мы пользуемся навигацией совсем не так, как делал это Христофор Колумб, поскольку математика у нас встроена в электронные устройства и нам не приходится пользоваться пером, чернилами и навигационными таблицами, но базовые принципы остаются примерно теми же. Для разработки новых лекарств необходима статистика, без которой невозможно обеспечить их безопасность и эффективность. Спутниковая связь невозможна без глубокого понимания небесной механики. Прогнозирование погоды требует решения уравнений, описывающих движение атмосферных масс, количество содержащейся в них влаги, температуру и взаимодействие всех этих факторов. Можно привести тысячи разных примеров. Мы не замечаем, что в них задействована математика, ведь для использования результатов это знать необязательно.

Что же делает математику столь полезной для такого широкого набора видов человеческой деятельности?

Этот вопрос не нов. Еще в 1959 году физик Юджин Вигнер прочел в Нью-Йоркском университете лекцию{2} под названием «Непостижимая эффективность математики в естественных науках». В ней он сосредоточился на науке, но то же самое можно было бы сказать и о непостижимой эффективности математики в сельском хозяйстве, медицине, политике, спорте… в общем, всюду, куда ни глянь. Сам Вигнер надеялся, что сфера применения математики будет расширяться. И она, безусловно, расширяется.

Ключевое слово непостижимая в названии лекции Вигнера вызывает удивление. Использование математики по большей части вполне постижимо, если, конечно, разобраться в том, какие методы задействованы в решении задачи или при создании гаджета. Например, совершенно логично, что инженеры применяют уравнения аэродинамики при конструировании самолетов. Для этого аэродинамика в свое время и создавалась. Математический аппарат, используемый в прогнозировании погоды, в значительной мере создавался именно с этой целью. Статистика уходит корнями в открытие глобальных закономерностей в данных о поведении людей. Математика, необходимая для конструирования вариофокальных объективов, необъятна, но по большей части она разрабатывалась как раз для оптики.

С точки зрения Вигнера, возможности математики в решении важных задач становятся непостижимыми при отсутствии связи между первоначальной целью разработки математического аппарата и его последующим использованием. Вигнер начал свою лекцию с истории, которую я перескажу своими словами.

Встретились два бывших одноклассника. Один из них, статистик, исследующий демографические тенденции, показал другому свою статью, которая начиналась со стандартной в статистике формулы нормального распределения, или колоколообразной кривой{3}. Он объяснил, что означают в ней различные символы – вот численность населения, вот среднее значение по выборке – и как при помощи этой формулы можно узнать численность населения, не пересчитывая всех поголовно. Его одноклассник заподозрил, что приятель шутит, но не был в этом уверен и начал расспрашивать об остальных обозначениях и в конечном итоге добрался до символа, который выглядел так: π.

– Что это за значок? Выглядит знакомо.

– Да, это число пи – отношение длины окружности к ее диаметру.

– Теперь я точно знаю, что ты меня разыгрываешь, – сказал приятель. – Разве окружность имеет какое-то отношение к численности населения?

Прежде всего надо отметить, что скептицизм приятеля совершенно понятен. Здравый смысл подсказывает, что две такие несопоставимые концепции просто не могут быть связаны. В конце концов, одна имеет отношение к геометрии, другая – к людям. Однако, несмотря на здравый смысл, такая связь существует. Колоколообразная кривая описывается формулой, в которой, как ни странно, фигурирует число π. И это не просто удобная аппроксимация, в ней действительно стоит число, в точности равное нашему старому знакомому π. Но причина, по которой это число фигурирует в формуле колоколообразной кривой, неочевидна даже для математиков, и вам потребуется углубленное знание дифференциального исчисления, чтобы понять, откуда оно берется, не говоря уже о том почему.

Позволю себе рассказать еще одну историю о числе π. Несколько лет назад мы делали ремонт в ванной на первом этаже. Спенсер, поразительно разносторонний мастер, который пришел укладывать плитку, узнал, что я пишу популярные книги по математике.

– У меня есть математическая задачка для вас, – сказал он. – Мне поручили уложить плитку на пол в круглой комнате, и теперь нужно узнать ее площадь, чтобы выяснить, сколько потребуется плитки. Была ведь какая-то формула, которую мы учили…

– Пи эр квадрат, – ответил я.

– Вот-вот, она самая!

Я напомнил ему, как нужно пользоваться этой формулой. Он ушел счастливый, получив ответ на задачу с плиткой, подписанный экземпляр одной из моих книг и вдобавок сделав открытие – оказывается, математика, которую изучали в школе, может быть, вопреки давним убеждениям, полезна в его нынешней профессии.

Разница между двумя историями очевидна. Во втором случае π фигурирует потому, что это число изначально было введено для решения задач именно такого рода. Это простая история об эффективности математики. В первом случае π тоже участвует в решении задачи, но его присутствие удивительно. Это история о непостижимой эффективности: о применении математической концепции в области, совершенно не связанной с ее происхождением.

В этой книге я не буду распространяться о разумных и понятных применениях моего предмета. Они достойны, они интересны, они точно такая же часть математического ландшафта, как все остальное, они ничуть не менее важны, но вряд ли заставят кого-нибудь удивиться и воскликнуть: «Вот это да!» Кроме того, они могут создать впечатление у власти предержащей, что единственный способ развития этой науки состоит в постановке задач перед математиками, которые будут изобретать способы их решения. В таких целенаправленных исследованиях нет ничего плохого, но они подобны драке одной рукой. История же раз за разом демонстрирует ценность второй руки – поразительные возможности человеческого воображения. Особую мощь математике придает сочетание двух способов мышления, которые дополняют друг друга.

Например, в 1736 году великий математик Леонард Эйлер обратился к забавной небольшой головоломке, связанной с кёнигсбергскими мостами. Он заинтересовался ею потому, что она, похоже, требовала геометрии нового типа, которая меняла обычные представления о длинах и углах. Но он никак не мог предвидеть, что в XXI веке предмет, начало которому положило его решение, поможет множеству пациентов найти почку для пересадки и тем самым сохранить жизнь. Для начала отметим, что даже идея пересадки почки показалась бы в то время чистой фантазией, а если и нет, то связь ее с той головоломкой точно выглядела бы нелепицей.

И кто мог бы вообразить, что открытие заполняющих пространство кривых – кривых, проходящих через каждую точку заполненного квадрата, – сможет помочь программе Meals on Wheels планировать маршруты доставки? Точно не математики, которые изучали эти вопросы в 1890-е годы и которых интересовало, как можно определить такие заумные концепции, как «непрерывность» и «измерение». Кстати, поначалу им пришлось объяснять, почему дорогие их сердцу математические представления могут оказаться ошибочными. Многие коллеги тогда осуждали все это мероприятие как ошибочное и вредное. Со временем все поняли, что бесполезно жить в блаженном неведении и считать, что все будет замечательно работать, если на самом деле не будет.