Кроме построения теории фазовых переходов второго рода Л. Д. Ландау получил ряд других важных результатов относительно фазовых превращений и симметрии тел. Им был изучен вопрос о пересечении различных кривых перехода, рассмотрены свойства жидких кристаллов, показана невозможность существования одномерных и двумерных кристаллов.

В том же 1937 году Лев Давидович пишет работу «К статистической теории ядер». В этой работе получен ряд важных соотношений, характеризующих тяжёлые ядра.

На возможность применения к ядру статистических методов впервые указали Я. И. Френкель и Нильс Бор. Исходя из этой идеи, Г. Бете исследовал распределение ядерных уровней по энергиям. Однако при этом Бете рассматривал ядро как идеальный газ, что заведомо неверно вследствие сильного взаимодействия частиц в ядре. В действительности ядро следовало рассматривать как квантовую жидкость. Этот подход и был применён в работе Л. Д. Ландау.

В первой части работы была выведена общая формула для распределения энергетических уровней в ядре, а также формула распределения уровней для состояний с определённым вращательным моментом. Особо рассмотрен случай столкновения ядра с нейтроном.

Наиболее интересна вторая часть работы, где впервые была выведена формула, связывающая расстояние между уровнями ядра с так называемой нейтронной шириной, определяющей вероятность излучения нейтрона.

Аналогичная формула была получена и для случая распада ядра с вылетом не нейтрона, а протона или альфа-частицы.

Исследования Л. Д. Ландау по статистической теории ядер были продолжены рядом авторов (Вейскопф и др.) и изложены во всех книгах по ядерной физике.

В 1938 году Л. Д. Ландау совместно с Ю. Б. Румером построил теорию электронных ливней в космических лучах.

Идея о том, что так называемые ливни в космических лучах представляют собой размножающиеся потоки электронов и позитронов, незадолго до этого была высказана Баба и Гайтлером, а также Карлсоном и Оппенгеймером. Согласно концепции этих авторов, размножение электронов и позитронов происходит благодаря тормозному излучению фотонов заряженными частицами, которые, в свою очередь, превращаются в электронно-позитронные пары.

Статья Л. Д. Ландау и Ю. Б. Румера «Лавинная теория электронных ливней» — пример прямого и в то же время исключительно изящного подхода к вопросу. Соавторы получили уравнения, которые связывают изменения чисел электронов, позитронов и фотонов на единице длины с эффективными сечениями тормозного излучения. Был получен ряд интересных соотношений, как, например, зависимость числа частиц в ливне от глубины проникновения для любой заданной начальной энергии, энергетическое распределение на заданной глубине, а также рассмотрен вопрос о переходе ливня из воздуха в другие среды.

В последующих работах Ландау нашёл угловое распределение частиц в ливне, вычислил ширину ливня и рассмотрел вопрос о вторичных ливнях, вызванных мезонами.

Результаты каскадной теории ливней были проверены в многочисленных экспериментах и явились важным этапом в изучении космических лучей.

Работа в Институте физических проблем целиком захватила Дау. В институте царила деловая атмосфера. Она помогла Ландау создать одну из лучших его работ, посвящённую проблеме сверхтекучести жидкого гелия.

В 1937 году Пётр Леонидович Капица обнаружил у гелия парадоксальное свойство: при охлаждении до температур, близких к абсолютному нулю, жидкий гелий не только не становится твёрдым, но теряет вязкость, переходя в состояние сверхтекучести. Абсолютный нуль — температура, при которой хаотическое движение атомов прекращается. Следовательно, при абсолютном нуле все тела должны быть твёрдыми. Жидкий гелий — единственное вещество, которое не затвердевает при абсолютном нуле.

П. Л. Капица (пятый справа) в лаборатории Л. В. Шубникова (третий справа). Л. Д. Ландау — крайний слева.

Попытки построить теорию сверхтекучести оставались неудачными до тех пор, пока объяснить явление сверхтекучести не взялся Ландау. Он доказал, что состояние тела может меняться без поглощения или выделения тепла. Бурно кипящий при нормальном давлении гелий-I при абсолютном нуле переходит в новую модификацию — спокойный сверхтекучий гелий-II. Ландау применил к гелию-II квантовую теорию, объяснившую все явления сверхтекучести: в жидком гелии при температуре близ абсолютного нуля часть жидкости не сохраняет теплового движения. Но это невероятно! Ведь атомы жидкого гелия одни и те же. Одно вещество ведёт себя так, словно оно состоит из двух компонентов!

Один из компонентов гелия-II Ландау назвал сверхтекучим, ибо вязкость его равна нулю, другой — нормальным. Поразительно то, что сверхтекучий, движущийся компонент не переносит никакого тепла — оно остаётся как бы оторванным от массы вещества, выделенным в чистом виде: сверхтекучая часть жидкости может уйти, а её нормальный компонент, то есть тепло, останется. Предсказания теории Ландау подтвердились многочисленными экспериментами. В частности, в опыте Доунта и Мендельсона из предельно узкой щели вытекала жидкость более низкой, чем в сосуде, температуры. Тайна жидкого гелия была разгадана.

Теория сверхтекучести создавалась с перерывом: в конце мая 1938 года Ландау арестовали. «По нелепому доносу, — писал он в «Комсомольской правде» 8 июля 1964 года, — я был арестован. Меня обвинили в том, что я немецкий шпион. Сейчас это иногда кажется мне даже забавным, но тогда, поверьте, было совсем не до смеха. Год я провёл в тюрьме, и было ясно, что даже ещё на полгода меня не хватит: я просто умирал. Капица поехал в Кремль и заявил, что он требует моего освобождения, а в противном случае будет вынужден оставить институт. Меня освободили. Вряд ли надо говорить, что для подобного поступка в те годы требовались немалое мужество, большая человечность и кристальная честность».

Целый год он не мог звонить и писать Коре. Она ждала. И вот ночью в квартире на улице Дарвина раздался звонок. К телефону подошла Татьяна Ивановна, Корина мать. Через минуту плачущая, улыбающаяся, счастливая Кора услышала родной голос:

– Коруша, приезжай.

Был канун майских праздников 1939 года. Кора взяла отпуск на кондитерской фабрике, где работала инженером-технологом, и вылетела в Москву.

Праздники промчались быстро, Кора уехала домой, и Дау почувствовал себя страшно одиноким.

«Очень смешно читать твои письма, в которых ты волнуешься по поводу моей любви к тебе, — пишет он ей. — Ведь я просто по временам с ума схожу от любви к тебе, ведь ты такая изумительная, тебя вообще трудно не любить. А о других ты зря волнуешься. Подумай, Корунечка, ведь мы живём всего только один раз и то так мало, больше никакой жизни не будет. Ведь надо ловить каждый момент, каждую возможность сделать свою жизнь ярче и интереснее. Каждый день я с грустью думаю о том, сколько неиспользованных возможностей яркой жизни пропадает. Пойми, Корунечка, эта жадность к жизни ничем не мешает моей безумной любви к тебе».

Летом он поехал на Кавказ. Вид у него был неважный: ввалившиеся щёки, неестественная бледность. Однажды в Теберде он нарядился привидением. Смотреть на него было жутко.

Каждую минуту он думал о Коре:

«Корунечка, золотая моя. Ну разве ты не жулик? Оказывается, ты не можешь быть счастлива т.к. я-де не могу любить тебя, как ты.

Единственное, чего мне хочется, это чтобы ты была счастливой и хоть немного любила меня. А о том, насколько ты любишь меня, я всегда могу судить по тому, как ты ласкаешься и целуешься. Мне абсолютно безразлично, сколько и каких романов ты заводишь, но когда я почувствую, что ты целуешься без энтузиазма и мои ласки наводят на тебя скуку, я пойму, что твоей любви ко мне пришёл конец.

Но счастливой ты должна быть обязательно, всё равно, хочешь ты этого или нет. И то, что ты всячески саботируешь счастье, пытаясь быть несчастной под всяческими жульническими предлогами, меня необыкновенно возмущает…