Покажем, что Vt € (—1,0) φ(1/t) > φ(t). Для этого рассмотрим функцию ξ(t) = φ(t)/φ(1/t) = t²е^{t — 1/t}'. Ясно, что ξ(-1) = 1, а поскольку

Дальше все просто. Т. к. φ(t) < φ(1/t) Vt € (—1,0), то (обозначив 1/t через τ):

Поскольку t₁ < —1 < t₂, то соединяя (11) и (12), мы получим оба условия (9). Что и требовалось.

Коль скоро при a < е^-e оба условия (9) выполнены, то действительно функция F имеет 1 minimum и 1 maximum, выполняется условие (5), и уравнение (4) в самом деле имеет три решения. Значит, и эквивалентное ему исходное уравнение (1) имеет три решения. Указанное положение дел иллюстрируется Рис. 4.

Рис. 4: Графики функций у = a^x (красный), у = log_a х (синий) и у = х (зеленый) — случай трех точек пересечения.

Одна из точек пересечения графиков функций у = a^x (красный) и у = log_a x; (синий) лежит на прямой у = х, т. е. является еще и решением уравнений а^x = х и log_a х = х, а остальные две симметричны относительно этой прямой. При а —> е^-e данные точки «слипаются» на прямой у = х, при а = е~^е имеет место касание графиков функций у = а^х и у = log_a х, а в дальнейшем, т. е. при a > е^-e точка пересечения будет уже одна, и находиться она будет, конечно же, снова на прямой у = х (Рис. 5).

Рис. 5: Графики функций у = а^х (красный), у = log_a х (синий) и у = х (зеленый) — случай одной точки пересечения.

Рассмотрим уравнение линейного одномерного классического осциллятора с трением (уравнение затухающих колебаний):

х^∙∙ + 2δх^∙ + w²₀х = 0. (1)

Соответствующее характеристическое уравнение

λ² + 2δλ + w²₀ = 0 имеет корни

λ_1,2 = — δ ± √(δ² — w²₀) 

где

p = √(w²₀ — δ²)

Поэтому общее решение уравнения (1) есть:

x(t) = e^-δt(Ae^-ipt + Be^ipt). (2)

Уравнение второго порядка — две произвольные постоянные для того, чтобы удовлетворить любым начальным условиям.

Однако, здесь возникает трудность. Вот что говорит по этому поводу Л. И. Мандельштам («Лекции по теории колебаний», стр. 138):

«Рассмотрим последний случай, когда

δ = w₀, λ₁ =λ₂

При этом решение (2) принимает вид:

х = Ае^-λt. (3)

Если мы захотим приспособить такое решение к начальным условиям, то нам не хватит одной постоянной интегрирования. Нетрудно, однако, показать, что в этом специальном случае наряду с решением вида (3) имеет решение вида tе^-λt и общее решение таково:

х = Ае^-λt + Btе^-λt. (4)

В нем опять имеются две независимые константы, и его можно приспособить к любым начальным условиям.

Случай, когда λ₁ и λ₂ почти равны друг другу, и случай, когда они в точности равны, физически близки друг другу. Замечу, что этот случай важен в теории измерительных приборов. Часто требуется, чтобы измерительный прибор как можно быстрее приходил в положение равновесия. Оказывается, это требование выполняется как раз тогда, когда характеристическое уравнение имеет равные корни.»

В самом деле, физически ситуацию λ₁ и λ₂ от ситуации λ₁ ~= λ₂ мы отличить не можем из-за конечной точности измерения любых величин и, в частности, коэффициентов уравнения (1) (в какой-то момент δ станет неотличимым от w₀, не будучи равным ему в точности), в то время как решения (2) и (4) уравнения (1), отвечающие этим различным ситуациям, различаются весьма существенно. Перепишем решение (4) в виде, схожем с видом решения (2):

x(t) = e^-δt(A + Bt). (5)

Таким образом видно, что асимптотики решений (2) и (5) существенно различны: в первом случае затухающая экспонента, умноженная на осциллирующие (и, стало быть, ограниченные) синус и косинус, а во втором — такая же экспонента (δ уже неотличимо), умноженная на растущую линейную функцию, и никаких осцилляций. Получается как бы парадокс: физически неразличимые ситуации можно различить…

Разрешение этого «парадокса» на следующей странице.

Возникновение данного «парадокса» заключается в неправильном понимании того, что именно должно быть неразличимо при λ₁ ~= λ₂. На деле физическое требование неразличимости ситуаций λ₁ ~= λ₂ и λ₁ = λ₂ заключается в том, что при δ —> w₀ переходить друг в друга должны не общие решения (2) и (5) уравнения (1), а решения физической задачи, каковой является задача Коши о колебаниях осциллятора с данными начальными условиями х₀ и х^∙₀. А последнее свойство как раз имеет место. Убедимся в этом.

При δ = w₀ решение задачи Коши имеет вид:

(6)

При δ —> w₀ общее решение должно переходить именно в него.

В общем случае δ /= w₀ решение задачи Коши имеет вид:

(7)

При δ —> w₀ частота осцилляций р —> 0, дробь > sin pt/p — > t, cos pt —> 1, и решение (7) переходит в (6). Видно, что хотя формально осцилляции (т. е. члены с синусом и косинусом) в решении (7) сохраняются всегда, но частота их (именно, р) становится столь малой, что на не слишком больших временах (много меньших, чем период колебаний τ = 2π/p >>1) они незаметны. Т. е. отличие δ от w₀о можно заметить лишь через очень большое время, и тем большее, чем меньше эта разность, что физически разумно.

Задача: "Возле жесткой стенки (но достаточно далеко) на горизонтальном полу лежит шар массы M, на перпендикуляре между этим шаром и стенкой лежит шар массы m (m < M). Большой шар начинает двигаться точно к стенке с какой-то скоростью. Малый шар начинает биться между стенкой и большим шаром (все соударения абсолютно жесткие и лобовые). Доказать что при M/m > оо, N/√(M/m) = —> π где N — число соударений малого шара с большим и стенкой."

Утверждается что при:

M/m = 1, N = 3 (всем ежам ясно);

M/m = 100, N = 31;

M/m = 10000, N = 314;

M/m = 1000000, N = 3141,

ну и т. д.

Решение.

Рассмотрим процесс упругого соударения двух шаров. Введем некоторые обозначения. Скорость большего шара обозначим через V₁ малого — через v₂. Эти скорости — алгебраические величины, т. е. они могут быть любого знака, смотря по тому, в какую сторону движется шар. Так, в начальный момент времени (до соударений) V₁⁽⁰⁾ < 0, v₂⁽⁰⁾ = 0. Отношение масс шаров M/m обозначим через x.