Рис. 1. Задача о ньютоновой горе.
Вдумаемся в смысл сформулированной здесь задачи. Первая часть рассуждения Ньютона не вызывает сомнений. Кому неизвестно, что чем сильнее бросишь камень или иной предмет, тем он дальше полетит. Понятно и то, что с увеличением скорости вылета снаряда, кривизна пути его полета уменьшается — снаряд летит на большее расстояние, поэтому его траектория становится более пологой.
Правда, никому еще из артиллеристов не удалось стрельнуть так далеко, чтобы снаряд пролетел четверть меридиана (90°), т. е. 10 000 км. Однако можно поверить и в это — все зависит от той скорости, с которой снаряд покидает ствол орудия. Если увеличить скорость вылета, увеличится и дальность полета снаряда.
Но вот чтобы снаряд можно было заставить облететь вокруг земного шара, т. е., по выражению Ньютона, «окружить всю Землю» или, тем более, отправить его навсегда за пределы Земли в мировое пространство, — это кажется невероятным.
Давайте, однако, не спешить с выводами, а попробуем обосновать рассуждения Ньютона численными расчетами.
Известно, что брошенное тело падает на Землю вследствие ее притяжения. Вес тел есть та сила, которая удерживает все земные предметы на поверхности нашей планеты и мешает им отправиться в межпланетное путешествие. Можно, однако, бросить тело так, что оно, сохранив свой вес, тем не менее никогда не упадет на Землю, а будет обращаться вокруг нее, как крошечная Луна.
Для этого необходимо, чтобы центростремительная сила, возникающая при обращении тела вокруг Земли, равнялась его весу, или, точнее говоря, чтобы вес тела стал в таком движении центростремительной силой.
Пусть Масса тела равна m, ускорение силы тяжести g, радиус земного шара R, а скорость, которой должен обладать рассматриваемый нами искусственный спутник Земли, обозначим буквой υ.
Можно считать, что высота горы, на которой установлена воображаемая ньютонова пушка, весьма мала в сравнении с радиусом Земли и потому радиус орбиты спутника положим приближенно равным земному радиусу. Центростремительная сила, действующая на спутник, равна по известной формуле
. Для того чтобы вес тела, равный произведению
mg, не мешал круговому движению спутника, а, наоборот, сам был движущей центростремительной силой, необходимо, чтобы
. Сокращая на
m, получаем для искомой скорости выражение
.
Остается подставить в выведенную формулу численные значения g=9,8
и
R= 637∙10
4 м. В результате получаем, что
υ≈7900
=7,9
.
Таким образом, для того чтобы тело превратилось в искусственный спутник Земли и «окружило всю Землю», необходимо сообщить телу горизонтальную скорость почти в 8
.
В этом случае спутник будет как бы непрерывно «падать» на Землю, двигаясь вокруг нее по окружности, причем, повторяем, единственной силой, действующей на спутник, будет сила его веса.
Нетрудно подсчитать, за какое время подобный спутник облетит всю Землю. Длина окружности земного экватора равна 40076 км, а скорость спутника 8
. Отсюда следует, что период обращения такого спутника вокруг Земли равен 1 часу 24 минутам.
Ньютон, разумеется, не подозревал, что сформулированная им задача может иметь какое-нибудь практическое значение. Для него это был лишь один из теоретических примеров движения тел под действием тяготения.
Современная наука иначе расценивает задачу Ньютона. В ней она усматривает реальную возможность создания искусственных спутников Земли.
Разумеется, созданы они будут не так, как это рассказано у Ньютона. Бессмысленно устанавливать пушку на вершине горы, а затем выпускать из нее с нужной скоростью снаряды. Дело в том, что если бы даже современным артиллеристам удалось получить столь высокие скорости выброса снарядов, то все равно эти снаряды не стали бы спутниками Земли. Сопротивление атмосферы быстро бы затормозило их полет и заставило снаряды упасть на Землю.
Искусственные спутники должны быть созданы за пределами земной атмосферы, там, где ничто не будет мешать их свободному движению. О техническом решении этой задачи мы еще побеседуем, а сейчас попробуем сообразить, как будут двигаться вокруг Земли ее заатмосферные спутники.
С удалением от Земли сила ее притяжения ослабевает. Если на поверхности Земли ускорение силы тяжести равно 9,8
, то уже на высоте 3000
км над Землей оно равно 4,5
, а на расстоянии Луны (384403
км) ускорение земного тяготения составляет всего 0,27
. Заметим, что именно с таким
центростремительным ускорением и обращается Луна вокруг Земли, что впервые было доказано Исааком Ньютоном. Значит, силой, заставляющей Луну обращаться вокруг Земли, является сила земного притяжения.
Известно, что Луна совершает полный оборот вокруг Земли за 27⅓ суток. Если бы ее поместить на более близкое расстояние от Земли, то взаимное притяжение этих двух тел увеличилось бы и Луна, приобретя бóльшую скорость, совершала бы обращение вокруг Земли за меньший срок.
Знаменитый предшественник Ньютона немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) открыл закон, связывающий расстояние планет от Солнца с их периодами обращения. Закон Кеплера гласит: «Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний от Солнца».
Сформулированный закон верен не только для Солнца и планет, но вообще для всех небесных тел, движущихся под действием взаимного тяготения. Давайте применим его к интересующему нас случаю.
Обозначим расстояние Луны от Земли буквой R, ее период обращения вокруг Земли T. Пусть где-то между Землей и Луной, на расстоянии r от центра Земли, обращается вокруг нее искусственный спутник. Найдем период обращения спутника, обозначив величину этого периода буквой t.
По закону Кеплера:
. Откуда
.
Полученная формула позволяет для любого заатмосферного спутника подсчитать период его обращения вокруг Земли. Вот таблица, дающая результаты подобных вычислений. В первой ее графе указаны расстояния спутника от центра Земли (r), во второй — его высота над земной поверхностью (h), а в третьей — приближенное значение периода (t).
r
h
t
6570
км
200
км
1 час 28 мин.
6927
км
557
км
1 час 35 мин.
8039
км
1669
км
2 часа
12740
км
6370
км
4 часа
19110
км
12740
км
7,3 часа
42370
км
36000
км
24 часа
Зная расстояние спутника от Земли (r) и его период обращения (t), легко найти скорость, с которой спутник движется по своей орбите. Обозначим искомую скорость буквой υ. Тогда, по известной формуле для кругового движения, получаем
.
