На пути развития этой математики должен был наконец наступить момент, когда не только границы искусственных геометрических построений, но и границы зрения вообще должны были восприниматься – как теорией, так и самой душой в ее порыве к безудержному выражению собственных внутренних возможностей – как предел, как помеха и когда, таким образом, идеал трансцендентной протяженности вступил в принципиальное противоречие с ограниченными возможностями непосредственной видимости. Античная душа, со всей самоотдачей платонической и стоической ἀθαραξία допускавшая значимость и господство чувственного начала, – эта душа, скорее воспринимавшая, нежели навязывавшая свои великие символы, как видно из подспудного эротического смысла пифагорейских чисел, никогда не испытывала желания перешагнуть пределы также и телесных здесь и теперь. Однако если пифагорейское число открылось в сущности данных единичных вещей в природе, то число Декарта и математиков, следовавших за ним, было чем-то таким, что следовало завоевать и вырвать силой, властным абстрактным отношением, независимым от всей чувственной данности и постоянно готовым к тому, чтобы заявить об этой своей независимости перед лицом природы. Воля к власти (если прибегнуть к великой формуле Ницше), которая является характерной чертой северной души в ее отношении к собственному миру начиная с наиболее ранней готики «Эдды», соборов и Крестовых походов, да собственно с завоевателей викингов и готов, заложена также и в этой энергии западного числа по отношению к созерцанию. Это и есть «динамика». В аполлонической математике дух служит зрению, в фаустовской – он его преодолевает.

Само математическое, такое неантичное, «абсолютное» пространство (в своем благоговении перед греческими традициями математика не отважилась это заметить) с самого начала было не неопределенной пространственностью повседневных впечатлений, общепринятой живописи, якобы столь однозначного и определенного априорного созерцания Канта, но чистой абстракцией, идеальным и неисполнимым постулатом души, которая все меньше удовлетворялась чувственностью как средством выражения и в конце концов страстно от нее отвратилась. Пробудилось внутреннее зрение.

Лишь теперь глубокие мыслители должны были почувствовать, что евклидова геометрия, единственная правильная геометрия для наивного наблюдателя во все времена, будучи рассмотрена с этой высшей точки зрения, оказывается всего только гипотезой, чья исключительная значимость в сравнении с другими, также совершенно не наглядными видами геометрий, как мы это определенно знаем со времен Гаусса, никогда не может быть доказана. Фундаментальное положение этой геометрии, аксиома Евклида о параллельных линиях, является утверждением, которое может быть заменено другими, а именно что через данную точку вообще нельзя провести прямую, параллельную данной, либо что таких прямых две или множество. Все это утверждения, приводящие к совершенно непротиворечивым трехмерным геометрическим системам, которые можно применять в физике и астрономии, и иногда их следует предпочитать геометрии Евклида.

Уже простое требование неограниченности всего протяженного (откуда пришлось – со времен Римана и его теории неограниченного, однако не бесконечного по причине кривизны пространства – удалить как раз таки бесконечность) противоречит подлинному характеру всякого непосредственного созерцания, которое зависит от наличия световых сопротивлений, т. е. от материальных границ. Однако мыслимы абстрактные принципы ограничения, которые превосходят возможности оптического ограничения в совершенно новом смысле. Для тех, кто способен заглянуть поглубже, уже в картезианской геометрии заложена тенденция к тому, чтобы выйти из трех измерений переживаемого пространства как из пределов, не имеющих для символики чисел никакой необходимости. И пусть даже представление о многомерных пространствах (это слово следовало бы заменить чем-то новым) стало расширенным основанием аналитического мышления примерно с 1800 г., но ведь первый шаг к этому был сделан в то мгновение, когда степени, а точнее, логарифмы были отделены от их первоначальной связи с вещественно осуществимыми поверхностями и телами и – при применении иррациональных и комплексных показателей – введены в область функционального как значения отношений совершенно общего рода. Кто вообще способен сюда последовать, поймет также и то, что уже с шагом от представления а³ как естественного максимума к аⁿ безусловность пространства с тремя измерениями оказывается снятой.

Стоило точке как пространственному элементу утратить все еще оптический характер координатного сечения в зрительно представимой системе и быть определенной как группа из трех независимых чисел, как не стало больше никаких препятствий для того, чтобы заменить число 3 общим п. Произошло перевертывание понятия измерения: теперь оно обозначает уже не числовую меру оптических свойств точки в отношении ее положения в системе, но неограниченные по количеству измерения представляют собой совершенно абстрактные свойства группы чисел. Эта группа чисел, образованная п независимых упорядоченных элементов, является образом точки; она называется точкой. Логически выведенное отсюда уравнение называется плоскостью, является образом плоскости. Совокупность всех точек в п измерений называется n-мерным пространством[62]. В этих трансцендентных пространственных мирах, которые более не находятся в каком-либо соотношении ни с какой чувственностью, господствуют отыскиваемые анализом отношения, находящиеся в неизменном соответствии с результатами экспериментальной физики. Эта пространственность высшего порядка представляет собой символ, являющийся безраздельным достоянием западного духа. Лишь этот дух попытался заворожить ставшее и протяженное в этой форме, заклясть, принудить, а тем самым и «познать» чуждое именно через данный вид присвоения (можно здесь вспомнить о понятии «табу») – и совладал с этой задачей. Только в этой сфере числового мышления, которая все еще доступна лишь чрезвычайно узкому кругу людей, даже такие образования, как система гиперкомплексных чисел (например, кватернионы векторного исчисления) и такие пока что совершенно непонятные символы, как ∞ⁿ, получают характер чего-то реального. То, что действительность – это не одна лишь чувственная действительность, что душевный элемент скорее способен воплощать свою идею в совершенно иных, не наглядных образованиях, – как раз это-то и следует еще усвоить.

Из этой величественной интуиции символических пространственных миров следует последняя и заключительная редакция всей западной математики, а именно расширение и одухотворение теории функций до теории групп. Группы представляют собой множества или совокупности однородных математических образований, как, например, совокупность всех дифференциальных уравнений определенного типа, множества, которые построены и упорядочены аналогично Дедекиндовым числовым телам. Возникает ощущение, что речь здесь идет о мирах совершенно иных чисел, не вполне свободных от определенной чувственности для внутреннего зрения посвященных. Необходимы теперь исследования определенных элементов этих колоссальных абстрактных формальных систем, которые остаются независимыми, сохраняют постоянство по отношению к воздействию отдельных групп операций, преобразований системы. Таким образом, общая задача этой математики приобретает (по Клейну) следующий вид: «Даны n-мерное многообразие („пространство“) и группа преобразований. Необходимо исследовать входящие в многообразие образования в отношении тех их свойств, которые не изменяются преобразованиями группы».

И вот теперь на этой высочайшей вершине (исчерпав все свои внутренние возможности и исполнив свое предназначение – быть слепком и чистейшим выражением идеи фаустовской душевности) завершается развитие западной математики – в том же самом смысле, в каком это произошло с античной математикой в III в. Обе эти науки (единственные, чья органическая структура все еще может быть исторически прослежена в наше время) возникли из принадлежавших Пифагору и Декарту концепций совершенно новых чисел; столетием позднее обе, пройдя через великолепный взлет, достигли зрелости, и обе, пройдя через рассвет продолжительностью в три столетия, завершили здание своих идей, – в то же самое время, когда культура, к которой они принадлежали, перешла в цивилизацию мировых столиц. Эта полная глубокого смысла взаимосвязь будет прояснена впоследствии. Несомненно то, что время великих математиков для нас миновало. Ныне происходит та же самая работа по сохранению, закруглению, совершенствованию, отбору – т. е. исполненная таланта мелочная работа взамен великих творений, – что и является характерной особенностью александрийской математики позднего эллинизма.