Уже древние геометры знали, что бывают более простые случаи. Например, по линии можно перемещаться только вперед или назад — это одномерный объект. Поверхность двумерна — по ней можно перемещаться не только вперед или назад, но и в стороны. Имеется особый случай — точка. Она жестко фиксирует положение. Можно говорить о том, что точка — нуль-мерный объект.

Итак, существуют объекты, имеющие различное число пространственных измерений: нуль (точка), одно (линия), два (поверхность), три (любое тело, имеющее объем).

Почему же пространство имеет три и только три измерения, а время одно и только одно?

До Сахарова никого не смущало такое различие между пространством и временем.

Впрочем, вопрос о том, ограничено ли пространство тремя измерениями, возникал и раньше.

Речь идет не о спиритических сеансах с мистическим четырехмерным пространством. Речь идет и не о четырехмерном пространстве — времени, порожденным теорией относительности для упрощения описания процессов, протекающих в реальном трехмерном пространстве с течением времени.

О возможности существования четвертого измерения физического пространства, по отношению к которому время выступает пятым измерением, впервые написал Калуца, один из последователей Эйнштейна.

Толчком к этому послужили неудачные попытки Эйнштейна объединить Общую теорию относительности (теорию гравитации) с электродинамикой Максвелла. Эйнштейн поставил перед собой эту величественную задачу сразу после создания Общей теории относительности. Но все его попытки достичь цели были неудачными.

На помощь ему пришел Калуца. Для построения единой теории поля (так Эйнштейн назвал свою цель) Калуца в 1921 году предположил, что физическое пространство имеет не три, а четыре измерения, что единая теория поля может быть построена в пятимерном пространстве, в котором пятое измерение — время.

Для того чтобы избежать противоречия с опытом, Калуца предположил, что четвертое измерение физического пространства не может быть зафиксировано приборами, имеющими обычные макроскопические размеры.

Эйнштейн откликнулся на работу Калуцы только в 1923 году. Как всегда, он сперва вводит читателя в курс дела:

«Пожалуй, наиболее важным в настоящее время вопросом в Общей теории относительности является вопрос о единой природе гравитационного и электромагнитного полей. Хотя единая природа этих двух видов поля априори ниоткуда не следует, преодоление этого дуализма явилось бы, несомненно, большим успехом теории… Недавно-Калуца представил Академии наук в Берлине проект теории, которая… отличается удивительной формальной простотой. Мы изложим ход мысли Калуцы… Пятимерное многообразие, в котором переменные поля не зависят (при соответствующем выборе координат) от пятой координаты, эквивалентно четырехмерному континууму (то есть обычному пространству-времени). Поэтому не требуется никакой новой физической гипотезы, чтобы интерпретировать четырехмерное пространственно-временное многообразие физического мира как такое пятимерное пространство, которое можно назвать «цилиндрическим» относительно пятого измерения. Так и поступает Калуца».

Анализируя математическое содержание теории Калуцы, Эйнштейн приходит к выводу о том, что введение пятимерного пространства в этой теории не обосновано с физической точки зрения. «Кроме того, — пишет он, — возникает сомнительная асимметрия, когда требованием цилиндричности одно измерение выделяется из всех других, в то время как в структуре уравнений все пять измерений должны быть равноправными».

Весной 1927 года Эйнштейн снова откликнулся на идею Калуцы двумя статьями под общим названием «К теории связи гравитации и электричества Калуцы». Он начинает так:

«Со времени установления Общей теории относительности теоретики непрерывно работают над тем, чтобы рассмотреть законы гравитации и электричества с единой точки зрения… Калуца пошел принципиально иным путем».

Сделав это замечание, Эйнштейн проводит трудоемкий анализ возможности дальнейшего развития теории, основанной на идее Калуцы. Продвинувшись вперед, он указывает, что Калуца, перенеся уравнения поля в пятимерное пространство, показал, что таким путем можно получить уравнения гравитационного и электромагнитного полей, которые совпадают в первом приближении с уравнениями Общей теории относительности в сочетании с выведенными полуэмпирическими (то есть, наполовину опытным путем) уравнениями Максвелла. После этого Эйнштейн формулирует задачу дальнейшего исследования: «Мы покажем, что идея Калуцы приводит к этим уравнениям точно, а не в первом приближении».

Эйнштейн приводит ряд громоздких вычислений, основанных на «усиленном условии цилиндричности» (усиленном по сравнению с первоначальным условием цилиндричности Калуцы). Вот его вывод:

«В заключение можно сказать, что идея Калуцы дает рациональное обоснование электромагнитных уравнений Максвелла в рамках Общей теории относительности и объединяет их в одно формальное целое с уравнениями гравитации».

И вслед за этим, при корректуре, делает следующее, характерное для его научной добросовестности, замечание:

«Г. Мандель сообщил мне, что изложенные здесь результаты не новы и содержатся в работах Клейна. Сравни также работу В. А. Фока» (и дает ссылки на эти работы).

Так возникло название «Теория Калуцы — Клейна».

В 1938 году, после нескольких неудачных попыток построения единой теории поля, Эйнштейн вновь обращается к идее Калуцы. Итоги неудачных попыток усовершенствовать идеи Калуцы подведены в 1941 году. Оказалось, что «теория не способна описать факт существования элементарных частиц. Она не может объяснить и тот эмпирический факт, что электростатические силы, действующие между двумя микрочастицами, намного превышают гравитационные силы». Итог: «Это означает, что, основываясь на полученных уравнениях, нельзя построить непротиворечивую теорию материи».

Но надежда все же остается. «Тем не менее представляется вполне вероятным, что формальные соотношения, полученные в настоящей работе, сохраняют свое значение, даже несмотря на то, что их нельзя интерпретировать в прямом теоретикополевом смысле».

Наконец, в 1943 году, Эйнштейн окончательно отказывается от идеи Калуцы.

В наши дни теория Калуцы имеет чисто исторический интерес, поскольку в ней нет места для элементарных частиц с полуцелым спином (например для электронов и протонов). Позже выяснилось, что в ней нет места ни для сильного, ни для слабого взаимодействий, необходимых при построении современных теорий элементарных частиц. Однако сама идея многомерных единых теорий поля переживает сейчас новый расцвет.

В современных теориях типа теории Калуцы все дополнительные размерности пространства (кроме трех пространственных измерений и времени) выпадают из окончательных расчетов, если расстояния превышают планковский предел длины (примерно 10^-33 сантиметра) и не проявляются в лабораторных экспериментах.

Сахаров, отталкиваясь от работ Калуцы, пошел оригинальным путем. Он применил идею Калуцы не к пространству, а ко времени. Результаты его размышлений опубликованы в 1984 году в статье «Космологические переходы с изменением сигнатуры метрики». Сигнатурой физики называют число, характеризующее количество каких-либо признаков.

Во введении автор сообщает, что сигнатурой метрики он обозначает число временных координат (координат, родственных обычному времени) и напоминает, что «в теориях Калуцы — Клейна число временных координат по-прежнему обычно предполагается равным единице… В этой работе мы отказываемся от предположения о инвариантности (неизменности) сигнатуры метрики (то есть числа координат, родственных времени) и рассматриваем состояния с различной сигнатурой».

Сахаров предлагает признать возможность существования более чем одного временного измерения, точнее, признать возможность существования в нашей Вселенной наряду с наблюдаемым (макроскопическим) временем еще двух или другого числа временных измерений!

Правда, он сразу успокаивает нас, предполагая, что дополнительные временные измерения компактифицированы, то есть, как пятое измерение Калуцы, не наблюдаемы при помощи обычных приборов (в данном случае — часов).