Мандельштам подчёркивал, что сила Общей теории колебаний основана на глубоком единстве сущности колебательных. процессов, выражающейся в том, что все родственные колебательные процессы могут быть описаны одним и тем же уравнением. Поэтому, говорил он, достаточно изучить один из колебательных процессов, решить это уравнение всего один раз. Полученные решения могут быть затем в готовом виде применены ко всем остальным колебательным явлениям и процессам, подчиняющимся этому же уравнению.
Главное преимущество состоит в том, что человек, овладевший Общей теорией колебаний, приобретает то, что Мандельштам называл колебательной интуицией, позволяющей судить о новом явлении на основании опыта, полученного при изучении многих других явлений.
На основе линейной теории колебаний возникает нелинейная теория колебаний. Этим названием физики привыкли обозначать теорию, изучающую колебания систем, графики свойств которых (их характеристики) не могут быть изображены при помощи одной прямой линии. Здесь важно подчеркнуть слово «одной», потому что ломаная линия, состоящая из нескольких прямых, является непрямой кривой (а не прямой) линией.
Зная о недостатке того варианта метода возмущений, который был применён для описания нелинейных систем (лампового генератора радиоволн, рассмотренного ван дер Полем), Мандельштам поручил своему аспиранту А.А. Андронову поискать более подходящие варианты этого метода.
Собственно говоря, он нашёл два метода, взаимно дополнявшие друг друга. Один из них был разработан французским математиком А. Пуанкаре, а второй казанским математиком А. М. Ляпуновым.
Ляпунов интересовался важным вопросом: когда исследуемое явление может существовать длительное время? То есть является ли оно устойчивым или при определённых условиях теряет устойчивость и возникают процессы, приводящие к его разрушению. Ляпунов нашёл способ решать задачу об устойчивости без каких-либо специальных опытов. Для астрономов это очень важное обстоятельство ведь в астрономии активные опыты, опыты с воздействием на изучаемый объект, совершенно невозможны. Он показал, как ответить на вопрос об устойчивости вычислительным путём, изучая свойства уравнений, описывающих исследуемое явление. Метод Ляпунова применим к любому решению задачи о периодических движениях, независимо от того, каким путём получено решение
Грубые системы и странные аттракторы
Весь опыт исследования нелинейных систем показывал, что им свойственно переходить от неупорядоченных состояний к упорядоченным, от хаотических движений к регулярным, к периодическим колебаниям и периодическим волнам. Этот опыт был обобщён Андроновым с помощью понятия грубой системы. Он высказал гипотезу о том, что в природе и в специальных опытах могут длительно существовать только такие состояния и процессы, которые не разрушаются случайными воздействиями и поддерживаются за счёт энергии, поступающей в систему извне. В совместной статье Андронова и математика Л. С. Понтрягина в 1937 году этой гипотезе была придана математическая форма. Постепенно физики привыкли к тому, что в грубых системах, если они снабжаются энергией от внешнего источника и затрачивают её, превращая в тепло, возможны только состояния равновесия и периодические процессы. Причём система сама по себе, за счёт своих внутренних свойств, притягивается к ним из любого исходного состояния.
Этим мнением физики с успехом руководствовались свыше тридцати лет. Но оказалось, что это не так. В 1971 году подобно грому из ясного неба прозвучала статья Д. Рюэля и Ф. Такенса с безобидным названием «О природе турбулентности». Турбулентность это неупорядоченное хаотическое движение жидкостей и газов, характеризующееся самопроизвольным возникновением вихрей; размеры и моменты их рождения могут быть случайными.
Жидкости и газы текут спокойно и упорядоченно, если скорости течения малы. О. Рейнольдс в 1883 году провёл серию наблюдений течения жидкостей в прозрачных трубах. Окрашивая отдельные струйки жидкости, установил, что по мере увеличения скорости спокойное течение, при котором окрашенные струйки не разрушались, внезапно сменяется хаотическим течением. Он выяснил, что эта внезапность характеризуется вполне определённым универсальным условием. Для характеристики этого условия он ввёл величину, которую следует вычислять, умножая скорость течения вдоль оси трубы на диаметр трубы и деля это произведение на вязкость текущей жидкости или газа. Эта величина приобрела огромное значение в дальнейшем развитии гидродинамики и аэродинамики. Её назвали числом Рейнольдса. Главным результатом опытов Рейнольдса было открытие странного факта: спокойное течение переходило в турбулентное, когда число Рейнольдса превышало 2000. Почему именно 2000 оставалось тайной. Эта тайна не разъяснена до сих пор. Она бросает вызов учёным своей кажущейся простотой.
Первые успехи пришли только в шестидесятых годах XX века. Главную роль здесь сыграли молодые советские учёные Д.В. Аносов и Я. Г. Синай. Они построили математические и физические модели, демонстрирующие появление неустойчивых траекторий движения молекул, превращение упорядоченного течения в неупорядоченное.
После этого сказали своё слово Рюэль и Такенс. Вернее, они сказали два слова. Эти слова были «странный аттрактор».
Странный аттрактор дитя нелинейной теории колебаний, хотя он родился в стороне от классических задач этой теории. Он объяснил тревоживший учёных факт: при развитии турбулентности рождаются не «истинно любые» вихри. В ограниченных системах, например в трубах, или при движении в воздухе крыла самолёта практически не могут возникнуть очень малые и очень большие вихри. Размеры рождающихся вихрей тяготеют к определённым величинам, зависящим от конкретных условий опыта. Тяготеют, значит, группируются каким-то образом, определяемым статистическими характеристиками опыта. Это же относится к моментам рождения вихрей. Размеры и моменты как бы тянутся к какой-то определённой области значений. Их как бы притягивает что-то. Что-то странное. Так родились эти два слова («аттрактор» — «притягатель», от английского «to attract» «притягивать»). Странный аттрактор.
Если простейшая колебательная система с одной степенью свободы предоставлена самой себе, свободна от внешних воздействий, в ней не может возникнуть хаос, за исключением очень слабой реакции на неизбежные тепловые движения молекул. Но при этом система не уклонится далеко от устойчивого состояния равновесия или периодического движения.
Устойчивое равновесие и устойчивое периодическое движение притягивают к себе простейшую нелинейную колебательную систему. Они являются притягивающими состояниями аттракторами, но ничего странного в этих аттракторах нет.
Странным было то, что опытные учёные в каком-то состоянии самогипноза переносили эти свойства простейших нелинейных колебательных систем на более сложные. Они считали, что аттракторы в сложных нелинейных колебательных системах тоже всегда ведут себя просто.
Но теперь, узнав, что нелинейные процессы, происходящие в быстро текущих газах и жидкостях, могут самопроизвольно порождать хаос, что в них могут возникать странные аттракторы, физики задумались. Конечно, рассуждали они, газ и жидкость состоят из огромного количества атомов или молекул, неудивительно, что в них может возникать хаос. Естественно попытаться узнать, сколь сложной должна быть нелинейная система, чтобы в ней мог появиться странный аттрактор, чтобы в ней мог самопроизвольно возникнуть хаос.
Наука жестока. Она умеет устыдить самонадеянных. А здесь оказалось, что самые мудрые впали в грех гордыни.
Выяснилось, что странный аттрактор может появиться в системе, которая всего на полшага, на полступеньки по сложности отстоит от простейшей нелинейной колебательной системы.
Пока удалось лишь выяснить, что существует несколько путей, по которым нелинейные колебательные системы переходят от регулярных движений к хаотическим. Наиболее простой из них называется путём удвоения. Он состоит в том, что колебательная система, совершающая регулярные колебания, внезапно теряет устойчивость и перескакивает в новый режим регулярных колебаний, характеризующихся удвоенным (по сравнению с первоначальным) периодом. Но вскоре система вновь теряет устойчивость и перескакивает в режим с учетверённым периодом колебаний, и так продолжается неограниченное число раз. При этом моменты потери устойчивости и состояния, из которых начинается следующий кратковременный режим, распределены совершенно хаотически. В результате таких последовательных удвоений очень быстро начинается настоящий хаос.
