Этот способ рассуждений мог бы убедить нас в правильности альтернативного предположения: то, что мы называем мгновением, может иметь какую-то продолжительность, но это дискретная и неделимая величина, похожая на кадры, следующие друг за другом и образующие кино. С этой точки зрения мы представляем себе полет стрелы как кинофильм, в котором положение стрелы меняется при переходе от одного кадра к другому. Только когда кадры следуют друг за другом, они создают ощущение движения. Но если начинаешь задумываться глубже, то понимаешь, что эта аналогия не проясняет картину. Кадры, составляющие кино, разделены долей секунды, а в нашем сознании они сшиваются воедино, образуя движение. Что способно сшить друг с другом атомы времени? Фильм можно прокрутить на разных скоростях, а можно вообще остановить пленку в кассете. Если мир устроен подобно прокручиваемой кинопленке, то кто показывает это кино и на какой скорости? Что мешает всему совершиться одномоментно? И как один кадр соединяется со следующим? В кино стрела в одном кадре может находиться в определенном положении, но затем оператор переводит камеру – и в следующем кадре мы видим уже цель, в которую направлена стрела. А в реальности этого никогда не происходит, и кажется, что каждый следующий, неумолимо наступающий момент, плавно вытекает из предыдущего.
Короче, как может происходить движение, если время состоит из моментов и в каждом из них движения нет? Этот парадокс (как и многие другие) был сформулирован уже 2500 лет назад Зеноном Элейским, о чем рассказали Платон в своем диалоге «Парменид» и Аристотель в своем трактате «Физика». Этот парадокс и в самом деле может вас обескуражить. И если так и произойдет, то это будет правильно! Если же вы, что вполне возможно, не увидите здесь серьезной проблемы, то я посоветую вам подумать еще. А вот если вы ощутите неодолимое желание задуматься о чем-нибудь другом – не поддавайтесь ему! И уж тем более не отмахивайтесь от этой проблемы как от уже решенной или как от «чисто философской зауми», потому что это будет похоже на то, как если бы вы прошли мимо узкой заросшей тропинки в лесу и не выяснили, куда именно она ведет. На самом деле парадоксы Зенона, охарактеризованные Бертраном Расселом как «неизмеримо тонкие», чрезвычайно проницательные мыслители обдумывали и разгадывали в течение двух тысячелетий – и находили решение, снова и снова, и каждый раз другое!
Итак, предметы движутся, стрела летит. И теперь человечество знает о самой природе движения гораздо больше, чем знали о нем во времена Аристотеля. Мы можем предсказать час и минуту любого затмения на 50 лет вперед или нацелить космический корабль настолько точно, что он спустя годы совершит маневры вокруг Юпитера и приблизится к Нептуну. Мы понимаем о движении достаточно, чтобы описать его во многих ситуациях с удивительной точностью. И как же в таком случае наша поразительно точно описывающая движение физика объясняет парадокс Зенона со стрелой?
Рассмотрим скорость стрелы. Если стрела преодолевает расстояние 100 метров за одну секунду, мы можем сказать, что она движется со средней скоростью 100 метров в секунду (м/сек). Однако если приглядеться повнимательнее, то обнаруживается, что во время второй половины движения стрела летит медленнее и пролетает меньшее расстояние, поскольку трение о воздух в процессе движения замедляет ее. Возможно, она пролетает 55 метров в первую половину секунды и 45 во вторую. Возможно, в интервале между 0,1 секунды и 0,2 секунды своего полета, то есть за 0,1 секунды, стрела пролетит 12 метров, следовательно, скорость ее в этом интервале времени составит 12 метров / 0,1 секунды = 120 м/сек.
Зависимость истекшего времени от расстояния, которое пролетела стрела Зенона-Муненори.
Во многом физика в знакомом нам виде родилась тогда, когда Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработали математический аппарат, позволивший довести эту проблему до логического завершения. Чтобы проиллюстрировать их интерпретацию движения, отложим на рисунке выше положение стрелы (в данном случае ее расстояние от выпускающего стрелу Муненори) в последовательные моменты времени. Ваш глаз измеряет эти положения, а время отсчитывается в вашем сознании, но все это делается очень приблизительно. Мы можем вообразить, что делаем измерения с гораздо большей точностью, – например, с помощью лазерной рулетки и атомных часов. В любом случае, сделав счетное число измерений, мы можем нарисовать гладкую кривую, которая точно описывает движение стрелы. Используя эту кривую, мы можем оценить, какие расстояния стрела пролетает за все более короткие интервалы времени.
Эта основная идея была понятна уже Аристотелю, но Ньютон и Лейбниц сделали решающий шаг и поняли, что случится, если интервал[6] Δt приближается к нулю, то есть к интервалу, о котором говорится в парадоксе Зенона. Они смогли показать, что, как и следовало ожидать, в течение этого бесконечно малого интервала времени приращение расстояния Δd стремится к нулю так же, как и Δt. Однако оказалось, что можно совершенно строго и математически точно доказать, что отношение Δd / Δt – скорость – стремится к определенному ненулевому значению. Этот математический метод, который составляет основу дифференциального исчисления, разрешает парадокс Зенона. Из него следует, что нельзя устремлять длительность интервала времени к нулю, не устремляя в то же самое время к нулю расстояние, преодолеваемое за это время, и если вы сделаете все правильно, скорость стрелы никогда не окажется равной нулю. Неважно, насколько короток интервал: стрела никогда не останавливается. Нет такого понятия как интервал времени, в течение которого стрела совсем не движется, – следовательно, исчезает как исходная предпосылка парадокса Зенона, так и необходимость обдумывать концепцию «атомов времени».
Парадокс объяснен? Возможно. Этот метод рассмотрения движения работает очень хорошо, и мы могли бы, если б захотели, просто оставить все как есть. Но физика – как и мир, который она описывает, – материя глубокая и тонкая, с секретными тропинками и потайными комнатами, так что нужно только толкнуть правильную дверь. Поэтому давайте зададимся несколькими вопросами о движении стрелы к своей цели по кривой траектории, описание которого кажется таким ясным.
Почему она летит именно по этой, а не по какой-либо другой траектории? Эта же стрела, если ее в одних и тех же условиях с одинаковым усилием выпускать опять и опять, полетит по той же самой траектории. Почему? И что именно выделяет именно эту траекторию из всех возможных траекторий, по которым она может лететь? (Способны ли вы вообразить, что стрела в действительности будет лететь по разным траекториям, образующим при усреднении одну прямую траекторию, которая только кажется изогнутой?)
Как в определенный момент времени стрела «узнает», по какой траектории нужно лететь? В этот момент она находится в определенном положении, но ее скорость зависит от того, где она была в предыдущий момент. Может стрела «помнить», где она была? Или ее скорость является присущим ей свойством – таким, например, как цвет? Почему стрела обладает инерцией, которая поддерживает ее движение в направлении ее скорости, но меняет направление так, чтобы следовать по предназначенной ей траектории?
Что случится, если мы попытаемся точно просчитать скорость стрелы в определенный момент времени, измерив пройденное ею расстояние Δd за бесконечно малый интервал времени Δt? В реальных условиях точные измерения провести невозможно, так что мы никогда не измерим точно ни Δd, ни даже Δt, и когда Δt приближается к нулю, скорость Δd/Δt становится совершенно неопределенной. Что мы будем с этим делать? Имеет ли вообще смысл воображать себе сколь угодно малые интервалы времени, если мы ничего не можем узнать о движении, происходящем в течение этих интервалов? Что вообще значит измерение скорости объекта? (Поверите ли вы в то, что так же как скорость объекта формируется из его различных положений, так и положение объекта, в свою очередь, формируется различными скоростями?)
