А когда под блоком проложены гибкие шесты, можно в одиночку поднять конец любого шеста, применив силу, значительно меньшую веса блока. Действительно, когда поднят конец гибкого шеста, блок не теряет контакта с остальными шестами и они продолжают его поддерживать.

Чтобы поднять блоки на пирамиду, строители, возможно, использовали глиняные пандусы – либо прямые, с нужной стороны пирамиды, либо спиральные, вокруг всей пирамиды. Бригада строителей могла тащить блок на веревках по такому пандусу, поливая его водой, чтобы уменьшить трение между его поверхностью и блоком. Чем меньше уклон пандуса, тем меньшую силу необходимо прикладывать, чтобы втащить камень, а следовательно, требуется и меньше строителей. Однако каким бы заманчивым ни казалось это объяснение, мы понимаем, что те пандусы должны были быть страшно длинными (до 1,5 км в длину), а перетаскивание огромной плиты по спиральному пандусу, опоясывающему пирамиду, – процесс и долгий, и опасный.

Более правдоподобно другое объяснение: скорее всего, блоки втягивали непосредственно на нужную грань пирамиды на салазках (рис. 1.21а). Когда очередной уровень пирамиды был выложен, строители шлифовали внешнюю поверхность уложенных блоков, то есть делали ее гладкой, и салазки хорошо скользили по ней. Кроме того, их полозья смачивались водой, и трение становилось совсем маленьким. Расчеты показывают, что бригада из 50 человек могла поднять не очень тяжелый блок за несколько минут. Такими темпами пирамиду могли возвести в те сроки, о которых говорят историки. Можно было бы справиться еще меньшими силами, если бы египтяне догадались перекинуть веревку на противоположную сторону пирамиды через строительную площадку наверху, привязали бы к концу веревки другие салазки и посадили бы в них людей (рис. 1.21б). Эти салазки служили бы противовесом. Как только строители сдвигали салазки с плитой с места, салазки на противоположной грани пирамиды помогали бы тащить их к вершине. В этом методе есть еще одно преимущество: когда блок поднят, салазки-противовес оказываются на земле, и их можно опять нагружать.

Рис. 1.21 / Задача 1.64. Два варианта подъема каменной плиты на пирамиду.

Слинки – известная игрушка-пружинка, которую можно заставить спускаться по лестнице (точнее сказать, кувыркаться вниз по лестнице). Вы ставите игрушку на верхнюю ступеньку, оттягиваете верхнюю часть пружинки вверх, опускаете ее на следующую ступеньку и отпускаете игрушку. Если высота ступенек правильно подобрана, слинки сама спустится по ступеням до конца пролета. Время, которое понадобится игрушке для спуска на один пролет, зависит от количества шагов, которое она сделает (можно настроить ее так, чтобы она спускалась через две ступени за раз), но не зависит от высоты каждой ступени. (И с высокой, и с низкой ступеньки слинки спускается за одно и то же время.) Как слинки спускается с лестницы?

ОТВЕТ • Когда вы вытягиваете пружину сначала вверх, а потом опускаете на следующую ступеньку, вы пускаете по длине пружинки волну. Когда волна начинает распространяться по пружинке, витки сначала поднимаются вверх, а потом по дуге пружинки спускаются вниз – на нижнюю ступеньку, и постепенно туда переходит все больше витков. Когда волна дойдет до последних витков, оставшихся на верхней ступеньке, их с достаточно большой скоростью протащит по дуге, они перелетят над второй ступенькой и (если размеры ступеньки подобраны правильно) остановятся на третьей. После этого процесс повторится.

Кувыркаться вниз по ступенькам (причем достаточно медленно, так что вы видите этот неторопливый спуск) слинки может за счет прямоугольного сечения провода, из которого сделана пружинка. Для этой конструкции, запатентованной в 1947 году Ричардом Джеймсом, характерно меньшее отношение жесткости пружины к ее массе по сравнению с такой же пружинкой, сделанной из провода с круглым сечением. Меньшее значение этого отношения приводит к тому, что волна, которую вы пускаете вдоль длины пружины, распространяется с меньшей скоростью. Пластмассовые слинки, у которых другое значение этого отношения и, соответственно, другая скорость распространения волны, кувыркаются с вдвое меньшей скоростью, чем первые слинки, сделанные из металла.

Но в любом случае время для спуска слинки на одну ступеньку определяется отношением жесткости пружинки к ее массе, а не высотой ступеньки. На невысоких ступеньках волна распространяется медленно, на высоких – быстрее, но время, требуемое для пробегания волны по всей длине растянутой пружинки, одинаково для обеих ступенек.

Поставим друг на друга на край стола книги, костяшки домино, карты, монетки или другие одинаковые плоские предметы так, чтобы стопка свисала с края стола. Как нужно расположить эти предметы, чтобы при заданном их количестве длина навеса (расстояния по горизонтали от края стола до края самой выступающей части стопки) была максимальной? Предположим, что вы укладываете костяшки домино длиной L. Сколько нужно костяшек, чтобы навес был равен L? А 3L?

У вас есть комплект из 28 костяшек домино. Постройте арку между двумя столами одинаковой высоты. Что нужно сделать, чтобы арка была максимально длинной?

Кубики «лего» – это игрушечные пластмассовые параллелепипеды. На одной из широких сторон детали сделано четыре углубления, а на противоположной стороне находятся четыре небольших штырька. Одну деталь можно соединить с другой так, чтобы четыре штырька первой вошли в соответствующие отверстия второй, а можно и так, чтобы верхняя деталь была сдвинута на половину длины, то есть только два ее штырька вошли в два отверстия нижнего. Пусть x – половина длины грани детали, а n – количество деталей. Сколько различных типов устойчивых (не падающих без поддержки) башен можно собрать из этого количества деталей?

Рассмотрим башню, в которой каждая деталь, за исключением самой нижней, установлена либо прямо над предыдущей, либо сдвинута вправо относительно предыдущей. Какое минимальное количество деталей нужно взять, чтобы навес всей стопки был равен, скажем, 4x? Есть ли более рациональный способ укладывания в стопку при том же самом навесе?

ОТВЕТ • Стопка находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через ее центр масс, не выходит за границы стола. Таким образом, чтобы добиться наибольшего навеса, нужно, чтобы эта вертикаль проходила через самый край стола. Один из способов получить большой навес основан на гармонических рядах (рис. 1.22а). Допустим, мы строим башню из костяшек домино. Чтобы уравновесить костяшку, нужно положить ее так, чтобы ее центр приходился на край стола, и тогда получим навес, равный L/2. Потом положим на нее следующую костяшку и сделаем так, чтобы общий центр масс двух костяшек приходился на край стола. Навес теперь будет равен (L/2)(1 + 1/2). Потом положим на них третью костяшку и уложим стопку так, чтобы центр масс трех костяшек приходился на край стола. Новый навес будет равен (L/2)(1 + 1/2 + 1/3). Когда башня будут построена из n костяшек домино, навес башни будет равен (L/2)(1 + 1/2 + 1/3 + … +1/n), где выражение в скобках – гармонический ряд. Приведу несколько результатов.

Рис. 1.22 / Задача 1.66. Башни из костяшек домино (а) – (б) и деталей «лего» (в) – (г).

Теоретически в этой последовательности нет предела (навес пропорционален логарифму количества костяшек в башне – его можно сделать любым), есть только предел, задаваемый здравым смыслом.